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原文出处：拓端数据部落公众号

本文将介绍R中可用于投资组合优化的不同求解器。

通用求解器

通用求解器可以处理任意的非线性优化问题，但代价可能是收敛速度慢。

默认包

包stats（默认安装的基本R包）提供了几个通用的优化程序。

• optimize()。用于区间内的一维无约束函数优化（对于一维求根，使用uniroot()）。

1. f <- function(x) exp(-0.5*x) * sin(10*pi*x)

2. f(0.5)

 

1. 


2. 


3. result <- optimize(f, interval = c(0, 1), tol = 0.0001)

4. result

5. 


6. 


7. 


1. # 绘制

2. curve(0, 1, n = 200)

• optim()通用优化，有六种不同的优化方法。

• Nelder-Mead：相对稳健的方法（默认），不需要导数。

• CG：适用于高维无约束问题的低内存优化

• BFGS：简单的无约束的准牛顿方法

• L-BFGS-B：用于边界约束问题的优化

• SANN: 模拟退火法

• Brent: 用于一维问题（实际上是调用optimize()）。

这个例子做了一个最小二乘法拟合：最小化

 

1. # 要拟合的数据点

2. # 线性拟合的l2-norm误差平方 y ~ par[1] + par[2]*x

3. #  调用求解器（初始值为c(0, 1)，默认方法为 "Nelder-Mead"）。

4. optim(par = c(0, 1), f, data = dat)

5. 


6. 


7. # 绘制线性回归图

1. # 与R中内置的线性回归进行比较

2. lm(y ~ x, data = dat)

下一个例子说明了梯度的使用，著名的Rosenbrock香蕉函数：

，梯度

，无约束最小化问题

1. #  Rosenbrock香蕉函数及其梯度

2. banana <- function(x)

3. c(-400 * x[1] * (x[2] - x[1] * x[1]) - 2 * (1 - x[1]),

4. 200 * (x[2] - x[1] * x[1]))

5. optim(c(-1.2, 1), f_banana)

6. 


7. 


8. 


optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")

下面的例子使用了界约束。

最小化

约束： 

1. p <- length(x); sum(c(1, rep(4, p-1)) * (x - c(1, x[-p])^2)^2) }

2. # 25维度约束

3. optim(rep(3, 25), f,lower = rep(2, 25), upper = rep(4

这个例子使用模拟退火法（用于全局优化）。

1. #全局最小值在-15左右

2. res <- optim(50, f, method = "SANN")

3. 


4. 


1. 


2. # 现在进行局部改进(通常只改进了一小部分)

3. optim(res$par, f , method = "BFGS")

 

• constrOptim()。使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。

1. #  不等式约束(ui %*% theta >= ci): x <= 0.9,  y - x > 0.1

2. constrOptim(c(.5, 0)

 

• nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化。

1. nlm(f, c(10,10))

2. 


• nlminb(): 进行无界约束优化。.

1. nlminb(c(-1.2, 1), f)

2. 


1. nlminb(c(-1.2, 1), f, gr)

2. 


optim

基础函数optim()作为许多其他求解器的包，可以方便地使用和比较。

1. # opm() 可以同时使用几个方法

2. opm(  f , method = c("Nelder-Mead", "BFGS"))

全局优化

全局优化与局部优化的理念完全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图避免局部最优点）。

特定类别问题的求解器

如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用该类问题的专用求解器会更好。
 

最小二乘法 (LS)

线性最小二乘法（LS）问题是将

最小化，可能有界或线性约束。

线性规划(LP)

函数solveLP()，可以方便地解决以下形式的LP：

最小化：

约束：

1. #> 加载所需软件包

2. 


3. 


4. cvec <- c(1800, 600, 600)  # 毛利率

5. bvec <- c(40, 90, 2500)  # 捐赠量

6. 


7. # 运行求解器

8. solveLP(maximum = TRUE)

 

混合整数线性规划 (MILP)

lpSolve（比linprog快得多，因为它是用C语言编码的）可以解决线性混合整数问题（可能带有一些整数约束的LP）。

1. 


2. # 设置问题:

3. #   maximize      x1 + 9 x2 + x3

4. #   subject to    x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9

5. #               3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15

6. 


7. # 运行求解

8. res <- lp("max", f, con)

9. 


10. 


 

1. 


2. # 再次运行，这次要求三个变量都是整数

3. lp(  int.vec = 1:3)

solution

二次规划 (QP)

可以方便地解决以下形式的QP

1. 最小化：

2. 约束：

1. 
   

2. # 设置问题:

3. #   minimize    -(0 5 0) %*% x + 1/2 x^T x

4. #   subject to  A^T x >= b

5. #   with b = (-8,2,0)^T

6. #       (-4 2  0)

7. #   A = (-3 1 -2)

8. #       ( 0 0  1)

9. 
   

10. #运行求解

11. solve(Dmat,...)

解决具有绝对值约束和目标函数中的绝对值的二次规划。

二阶锥规划 (SOCP)

有几个包:

• ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个著名的、高效的、稳健的C语言库，用于解决凸问题。

• CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿方法的实现。

优化基础

我们已经看到了两个包，它们是许多其他求解器的包。

用于凸问题、MIP和非凸问题

ROI包为处理R中的优化问题提供了一个框架。它使用面向对象的方法来定义和解决R中的各种优化任务，这些任务可以来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性规划问题）。

LP – 考虑 LP:

最大化:

约束：

 

1. #> ROI: R 优化基础设施

2. #> 求解器插件: nlminb, ecos, lpsolve, scs.

3. #> 默认求解器: auto.

4. 


5. OP(objective = L_objective(c(3, 7, -12)),...,

6. maximum = TRUE)

7. 


8. #> 投资回报率优化问题:

2. # 让我们来看看可用的求解器

4. # solve it

5. res <- ROI_solve(prob)

6. res

 

MILP – 考虑先前的LP，并通过添加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.

1. # 只需修改之前的问题

2. types(prob) <- c("C", "I", "I")

3. prob

 

BLP – 考虑二元线性规划 (BLP):

最小化：

约束：

 

1. OP(objective = L_objective,..., ,

2. types = rep("B", 5))

3. ROI_solve(prob)

4. 


5. #> Optimal solution found.

6. #> The objective value is: -1.01e+02

SOCP – 考虑SOCP:

最大化:

约束:

并注意到SOC约束 

 可以写成

或 

，在代码中实现为：

。

1. OP(objective = L_objective,...,

2. maximum = TRUE)

 

SDP--考虑SDP:

最小化：

约束：

并注意SDP约束

可以写成

（大小为3是因为在我们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。

1. OP(objective = L_objective,...,

2. rhs ))

3. 


NLP – 考虑非线性规划(NLP)

最大化

约束

1. OP(objective = F_objective,..., bounds ,

2. maximum = TRUE)

 

凸优化

R为凸优化提供了一种面向对象的建模语言。它允许用户用自然的数学语法来制定凸优化问题，而不是大多数求解器所要求的限制性标准形式。通过使用具有已知数学特性的函数库，结合常数、变量和参数来指定目标和约束条件集。现在让我们看看几个例子。

最小二乘法 – 让我们从一个简单的LS例子开始：最小化

当然，我们可以使用R的基础线性模型拟合函数lm()。

1. # 生成数据

2. m <- 100

3. n <- 10

4. beta_true <- c(-4:5)

5. 


6. 


7. # 生成数据

8. res <- lm(y ~ 0 + X)   # 0表示我们的模型中没有截距。

9. 


 

用CVXR来做

1. 


2. result <- solve(prob)

3. str(result)

 

  

我们现在可以很容易地添加一个限制条件来解决非负的LS。

1. Problem(Minimize(obj), constraints = list(beta >= 0))

2. solve(prob)

稳健的Huber回归 - 让我们考虑稳健回归的简单例子：

最小化

其中

1. sum(huber(y - X %*% beta, M)

2. Problem(Minimize(obj))

3. solve(prob)

4. 


弹性网正则化 - 我们现在要解决的问题是：最小化

1. # 定义正则化项

2. elastic<- function(beta) {

3. ridge <- (1 - alpha) * sum(beta^2)

4. lasso <- alpha * p_norm(beta, 1)

5. 


6. 


7. # 定义问题并解决它

8. 


9. sum((y - X %*% beta)^2) + elastic(beta, lambda, alpha)

10. Problem(Minimize(obj))

11. solve(prob)

稀疏逆协方差矩阵--考虑矩阵值的凸问题：最大化

，条件是

1. log_det(X) - matrix_trace(X %*% S)

2. list(sum(abs(X)) <= alpha)

协方差--考虑矩阵值的凸问题：在

的条件下，最大化

。

1. 


2. constr <- list(Sigma[1,1] == 0.2, Sigma[1,2] >= 0, Sigma[1,3] >= 0,

3. Sigma[2,2] == 0.1, Sigma[2,3] <= 0, Sigma[2,4] <= 0,

4. Sigma[3,3] == 0.3, Sigma[3,4] >= 0, Sigma[4,4] == 0.1)

投资组合优化--考虑马科维茨投资组合设计：最大化

，

1. Problem(Maximize(obj), constr)

2. solve(prob)

结论

R语言中可用的求解器的数量很多。建议采取以下步骤。

• 如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。

• 如果速度不够快，使用ROI。

• 如果仍然需要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则使用该类别专用的求解器（例如，对于LP，推荐使用lpSolve，对于QP则使用quadprog）。

• 然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。如果需要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的选择，它是许多全局求解器的包。

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