01  背景简介

在之前的文章“TPS54561DPRT规格书公式(35)如何推导？”、“TPS54561DPRT规格书公式(36)如何推导？”中，我们推导了TPS54561DPRT规格书中“为了满足负载动态响应(Load Transient Response)”BUCK电路输出端所需的电容量最小值计算公式(35)，以及“为了满足负载动态响应(Load Transient Response)”BUCK电路输出端所需的电容量最小值计算公式(36)，如下所示：

本文，我们将这两篇文章合并，对比这两个公式的推导过程，从而得出它们之间的很有意思的不同点。

在当前（2023.05）最新的TPS54561DPRT(Rev.G)版本规格书P32-33页，原文描述：

Equation 35 shows the minimum output capacitance necessary, where ΔIOUT is the change in output current, ƒsw is the regulators switching frequency and ΔVOUT is the allowable change in the output voltage. For this example, the transient load response is specified as a 4% change in VOUT for a load step from 1.25 A to 3.75 A. Therefore, ΔIOUT is 3.75 A - 1.25 A = 2.5 A and ΔVOUT = 0.04 × 5 = 0.2 V. Using these numbers gives a minimum capacitance of 62.5 μF. This value does not take the ESR of the output capacitor into account in the output voltage change. For ceramic capacitors, the ESR is usually small enough to be ignored. Aluminum electrolytic and tantalum capacitors have higher ESR that must be included in load step calculations. 

中文翻译：公式35给出了所需的最小电容量，其中ΔIOUT是输出电流的变化，ƒsw是稳压器开关频率，ΔVOUT是输出电压的允许变化。在本例中，瞬态负载响应指定为1.25 A至3.75 A负载电流阶跃导致的VOUT变化量为4%。因此，ΔIOUT 为 3.75 A - 1.25 A = 2.5 A，ΔVOUT = 0.04 × 5 = 0.2 V。这里，在输出电压4% 的变化量中不考虑输出电容的ESR产生的影响。对于陶瓷电容器，ESR通常足够小，可以忽略不计。但是，铝电解电容器和钽电容器具有更高的 ESR，必须包含在负载电流阶跃计算中。

Equation 36 calculates the minimum capacitance required to keep the output voltage overshoot to a desired value, where LO is the value of the inductor, IOH is the output current under heavy load, IOL is the output under light load, Vf is the peak output voltage, and Vi is the initial voltage. For this example, the worst case load step will be from 3.75 A to 1.25 A. The output voltage increases during this load transition and the stated maximum in our specification is 4 % of the output voltage. This makes Vf = 1.04 × 5 = 5.2. Vi is the initial capacitor voltage which is the nominal output voltage of 5 V. Using these numbers in Equation 36 yields a minimum capacitance of 44.1 μF.

中文翻译：公式36用于计算将输出电压过冲(Overshoot)保持在设计需求值内所需要的最小电容量，其中LO是功率电感的电感量，IOH是重负载下的输出电流，IOL是轻负载下的输出电流，Vi是初始电压（注：也就是重负载下的稳态电压，等于输出电压Vout），Vf是峰值输出电压（注：是在稳态输出电压Vout基础上叠加一个电压增量）。在本例中，最坏情况下的负载阶跃为3.75 A至1.25 A，即IOH=3.75A，IOL=1.25A。在此负载转换期间，输出电压增加，我们设计需求中规定的最大值为输出电压的4%。这使得 Vf = Vout + ΔVout = (1+4%) × 5.0V = 5.2V。Vi是初始电容电压，等于标称输出电压5 V，即 Vi = Vout = 5.0V，在公式36中使用这些数字可计算得到44.1 μF的最小电容。

02  公式(35)推导过程

图1 Load Step-up图1所示，是进行负载动态响应测试时从“轻载”到“重载”的示意图。我们将从“轻载”到“重载”这个过程称为“暂态”（对应时间为∆T），“暂态”之前称为为“轻载状态”，暂态之后称为为“重载状态”。无论是“轻载状态”还是“重载状态”都是BUCK转换器经过“调整”之后的“稳态”，输出电容COUT上的平均电流为零（电荷守恒，电容不生产电荷，电容只是电荷的搬运工）。

假设“暂态”∆T这段时间内输出电压跌落∆VOUT完全由输出电容COUT提供，那么基于输出电容COUT上的电荷变化量，利用“电荷公式I×∆T=∆Q=C×∆U”，可得：

∆IOUT*∆T=COUT*∆VOUT     (1)

解得，为满足负载动态响应测试时从“轻载”到“重载”条件下输出电压或输出电容上的电压VOUT的跌落或Undershoot不超过∆VOUT，所需要的输出电容量的一般表达式，如下所示：

COUT,min = ( ∆IOUT*∆T ) / ∆VOUT     (2)

如果要求BUCK转换器必须在2个开关周期即∆T=2*Tsw=2/Fsw时间内调整完成使得输出电压不再继续跌落转而开始上升的话，那么上述公式可以重新表达如下：

COUT,min = ( 2*∆IOUT ) / ( Fsw*∆VOUT )     (3)

推导完毕。这就是TPS54561DPRT规格书公式(35)的来源。

03  公式(36)推导过程

图2 Load Step-down

图2所示，为了满足Load Step-down之后输出端或输出电容上的电压Vout不超过设计需求中的Vout + ΔVout ，所需的输出电容量必须要吸收功率电感上释放的能量为

(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2     (4)

这就是在Load Step-down之前和之后电感上的能量变化量。而对应的输出电容上的能量变化量为

(1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2     (5)

利用电感能量变化量和电容能量变化量相等，有：

(1/2)*L*(I2)^2 – (1/2)*L*(I1)^2 = (1/2)*Cout*(Vout + ΔVout)^2 – (1/2)*Cout*(Vout)^2     (6)

消去1/2，合并多项式有：

L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] = Cout * [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ]     (7)

从而解得 ：

Cout = L * [ (I2)^2 - (I1)^2 ] / [ (Vout + ΔVout)^2 - (Vout)^2 ]     (8)

将 Vi = Vout 、 Vf = Vout + ΔVout 、IOH = I2和IOL = I1代入上述公式中，得到：

Cout = L * [ (IOH)^2 - (IOL)^2 ] / [ (Vf)^2 - (Vi)^2 ]     (9)

推导完毕。这就是TPS54561DPRT规格书公式(36)的来源。

04  思考：两个推导过程的区别？

为何公式(35)的推导，仅基于电荷公式或电容上的电荷变化量即可完成；而公式(36)的推导，需要用到能量公式，即电感上的能量公式和电容上的能量公式？

答案是，关键在图中。

参考图1 Load Step-up的过程，因为我们假设“暂态”∆T这段时间内输出电压跌落∆VOUT完全由输出电容COUT提供，功率电感与输出电容之间的路径相当于是断开的，这个过程的能量转换是从输出电容到负载端。因为这个转换过程，只涉及“电容元件”，所以使用电荷公式即可。

参考图2 Load Step-down的过程，从“重负载”到“轻负载”其实就是抛负载的过程，这个过程完成后，相当于输出电容与负载端是断开的，所以功率电感上的能量只能转换到输出电容上。因为这个转换过程涉及“功率电感元件”和“电容元件”，不同元件之间的能量转换，只能使用对应的能量公式，能量是守恒的。

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/p6jKdYsDFWKxSWlqGIu8_A