【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep1】从教材展开的选择聊起
大概从半年前，老碧开始在公众号上面写文章。文章的内容呢，往往就是把老碧接触了解过的一些内容和知识分享给大家。
因为涉及的领域比较宽泛，所以就会出现一个异常有意思的现象，每次一到数学相关的科普文，阅读量就会急速骤降，而粉丝量却会增加地最多。
我猜想大概是因为，因为固化思维，和学校教学，导致数学给大多数人的印象是晦涩难懂，所以看到标题是数学许多人就放弃了点进去看的念头。但是，老碧的文章确实还是有那么点意思，于是许多对数学有点兴趣的人就会欣然粉上了。
最近老碧最惊喜的是，老碧的好基友，远在美国某藤校数学系读博的M居然也开始看老碧写的数学科普了。受宠若惊，受宠若惊！
（希望他们看完我分享的词汇，健身，文学，影视，等等，方面的内容也别取关就好了！）
老碧最近在填的大坑是关于“数学为什么作为自然科学的语言，是具有无与伦比的优越性的”，聊到了数学方法的严谨性部分。下周会聊到数学的抽象性以及工具性的部分。感兴趣的朋友可以搜索“老碧的知识摊子”，看上去，严肃得不得了，实际上，都是很轻松有趣的话题！
广告结束，言归正传。聊聊今天的主题——
最近公众号上聊到数学作为语言的话题，正好提到很重要的一点，我直接搬过来：
“如果把一个全新的科目看成“一个国家”，那么这门学科的所有定义就可以看做这个国家的“语言”。与此同时，每一门学科都有一个无法进一步追问的内容，被老碧称为“逻辑起点”，在数学中，即为公理，可以视作这个国家的“法律”。
（高效学习一门学科最重要的一项内容莫过于：理清楚这门学科的逻辑边界，准确而深刻地记忆和理解尽可能多的定义和公理。理想状态是这样，现实情况就是多做作业多看书多思考就好了，以后老碧再分享几个自学过程中最浪费时间的恶习以及解决方法，拭目以待！）
而每一门学科能够成为学科的原因，恰恰在于其中有一些公认正确的部分，作为根基。然后在利用逻辑作为营养，开枝散叶。
这在数学教材的展开中也有所体现：
有一种自然科学的定义（自然科学的定义非常多），便是以实验为根基。所以你会发现大一化学书，会花相当大的篇幅来聊实验的发展历程。——这也是数学教材的展开思路之一（从自然数，到整数，到分数，到无理数，等等~）；
另一种方式则是以“数学语言”——定义，和“逻辑起点”——公理出发，导出所有的定理。”
市面上常见的《数学分析》的展开思路无外乎这两方面。
国内教材大多数选择聊数的发展史，引入实数理论然后展开实数完备性的内容。
俄罗斯教材则往往采取从定义和公理出发的，《微积分教程》这本书也不例外，不过它不像卓里奇的《数学分析》挑明了说罢了。
今天老碧读的是1~8页，我们先聊聊第一页到第六页的内容：
1前言：聊聊根号二为什么不是有理数？
这道题的证明普遍是用这本书的证法
但是还有一种证法其实更普适（周民强《数学分析习题演练》用的就是这种证法），就是利用多项式理论里面的一个性质，大概意思就是每一个不是1的整数都可以表示成若干个质数的乘积，并且不考虑次序差异，这种分解是唯一的。
p如果和q没有公共质因数，那么平方之后，等于把各自的质因数又重复列举了一下，莫非忽然就冒出来一个因子是他俩共有的了？就好比说小明和小红哪哪都不一样，我们把他俩克隆了一下，忽然发现长得有点像了？莫不是克隆容器被污染了？这种方法的普适性在于，可以直接推向有限次开方的情况中。
于是，导出了一个结论，除了有理数还有一种“其他数”，比如根号2这种奇葩，至于这个“其他数”是什么？我们还不知道？但是，我们得想一种办法，去定义这个数，使这个数做到：
有理数有的性质它都有；
除了它和有理数没有其他类型的数了。
（鉴于人类总喜欢搞事情，所以这个范围是指在数轴，即一维空间中。）
自然而然之后几页的内容就是做着两件事，从第2页到第6页在阐明有理数的性质：
2有理数的序；
3有理数的加法及减法；
4有理数的乘法及除法；
5阿基米德公理
第二节定义了大于：
序，就是次序的意思，真正正儿八经定义序，是在《实分析》的课本里面，定义了偏序/半序和全序。我们总是因为从小学习的原因，认为大于，小于是比较实际数量的大小，其实不是，它表示的是一个数在自然排列中是先出现还是后出现，而这个次序并不一定是必然的。试想，如果我们最初用符号5表示三个苹果，符号3表示五个苹果，那么数数的方式是不是应该是12543了呢？再想，如果所有运动员都是随机穿衣服，3号球员和5号球员会存在大小差异吗？仅仅是次序而已。
第二节就是有名的序公理。
第三节定义了加法：
实际上，列举性质作为定义的方式在大学数学学科中很常见，更重要的是记住里面的例子和证明方式。
而列举这四个性质，其实就说明了有理数是一个交换群。《抽象代数》里面几个重要的定义。可以这么背下来：
结合律=半群
有单位元的半群=幺半群
有逆元的幺半群=群
群+交换律=Abel群
这一节还由加法推出相反数的对称性，引出了绝对值的概念。
第四节定义了乘法，由提到了涉及乘法与加法的分配律
数域的一种定义方式即是，一个含有两种运算的集合，这两种运算还满足分配率。
所以这九条性质又称为是域公理。如果你学过《线性代数》，会发现，这几条性质和线性空间的性质异常相似。因为运算实际上可以看作是两个集合的笛卡尔积到另一个集合的映射，但是，域中运算的笛卡尔积是一个数集与自身的笛卡尔积，映射得到的集合还是该数集，线性空间的运算的笛卡尔积则是数集与向量集的笛卡尔积，映射得到的集合还是该向量集。笛卡尔积本质上可以看做是一个升维的操作，而数字乘法，或者向量点乘都可以看做是一个降维的操作。
不要问我为什么补充了这一堆，别人完全不会弄错的问题。我是不会承认我一度没有搞明白这两者的区别的！
第五节介绍了阿基米德公理
这个公理看似很无厘头，然而，可以说之后所有极限证明最根本的理论支撑就在这里。还记得极限运算是在求一个N吗？如果没有一条规则证明，对任何一个数总存在比它大的整数，为什么你可以说这个你求出来的N是存在的呢？结合后面证明无穷大的思想，其实都是基于阿基米德公理这个基石的。所以异常重要。
第二到四节便是有理数的所有公理性性质，也就是老碧在前文中提到的逻辑起点，而这本书绪论要做的便是：
定义一个数；
这个定义的数集内，上述公理依然成立。
实际上在《高等代数》里面学到涉及到数系同构理论的内容，这部分就更好理解了。
关于数系具体如何定义，我们下次再说。
篇幅过长，下一回会精简。
后记：为什么所有其他书的读书笔记都叫做“阅读笔记”，而只有这本书是叫做“精读笔记”，原因很简单，这本书我不是第一次读，不过之前读得很零散，一度沦为查资料用的工具书，但是，我内心对这本书是十分喜爱的，所以决定利用这个契机，逼着自己通读完至少一遍。
许多对数学有点了解的宝宝，可能上手入门的第一本专业书就是这本。原因是，真的非常多的数学专业的大神，说这本书多么多么地基础。然而就我了解的真相，如果有谁说这本书基础，极有可能是略过了理论部分只看了习题证明。
这本书的理论部分覆盖的范围极宽广，并且真的读懂了，你数学分析解题能力会上很大一个台阶，我相信有许多老数学家是有不断重读这本书的。我的偶像史济怀老师，写过三版《数学分析教程》，作为粉丝的我自然都收集全了。他书里的实数理论部分很明显受到《微积分学教程》的影响，尤其是有几道数列极限题的证明。
当然，史老师作为一名杰出的数学工作者和教学者，最厉害的地方在于，他书里的许多证明不拘泥于套路，自成一格。乍一看你会纠结，为什么明明有更简单的方法，非要用这种偏复杂的方法？但是如果你看完了整本书。就会明白，史老师，是在不断寻求更普适的解题方法，第一章出现的解题技巧或者习题的结论，可能第二十章还会用到，他在前几章教授的所有技巧都是可以贯穿数分始终，乃至常微分方程，实分析部分的证明题也能够用得上。
另外，在国内数学系考研最通行的教材“华师大版”则更像是《微积分学教程》的一个精华版，许多人诟病华师版教材如何如何简单，不够难。其实并非如此，这本书里面还是有一些内容很有深度的，只不过会拿这本书做参考书的院校往往考题不会出得太难罢了。“华师大”版的作者程其襄，如果你把这两本《数学分析》和他的《实变函数与泛函分析基础》一起读，会很佩服这位老一辈数学家的积淀与思考的。
实际上，许多人说《微积分学教程》好读，简单，基础的原因不过是因为：
没有大量引入逻辑符号语言，广泛地使用自然语言；
没有涉及太多现代数学的部分，如流形，实变，泛函等等；
例题简单；
说话者是数学专业的尖子生。
但是恰恰这四点是老碧认为这本书读起来很容易卡住的原因：
自然语言容易因为断句或者翻译问题产生歧义，然后失之毫厘谬之；
没有涉及现代内容，所以简单？难道不是应该导致：许多用稍微现代点的技巧轻松做出来的题目，用古典的方法感觉很崎岖吗？特别是，用符号一句话说明白的事，硬是硬生生写了一段；
例题并不都很简单，有些读完了这本书还来问我基础题的人，我很奇怪你们是不是读了假书，这本书题目收集真的很全面了，想要消化不算太简单；
（因为老碧只会基础题。）
数学系尖子生，看啥都简单，和我们人民群众没啥关系。
这也是老碧为啥要写《精读笔记》的原因，虽然不一定有人看吧，但是写下来以后读这本书对照着看会更轻松。也希望借这个契机好好读完这本书。
毕竟有一部分内容每次看都挺辛苦的。
