QFT #3 & #4

* 笔记全部采用爱因斯坦求和约定和自然单位制。

* 旋量场的东西我花了较多的时间去理解和整理，所以这篇并不完全按上课内容记录。

* 参考了很多教材的缘故，符号定义会比较乱，大家注意区分。

* 3和4一起更了，是两周的课程内容。

Dirac Field 及其量子化

4.1 Lorentz 群的旋量表示

回顾1：标量场、矢量场在洛伦兹变换下分别有形式

回顾2：群论基础

群是建立了一定运算规则，服从封闭性、结合律，有运算单位元、逆元的集合，具体的内容可参考随便什么数学教材或笔者之前的专栏【Hassani读书笔记】

洛伦兹群：

所有洛伦兹变换操作构成的集合。

六个自由度：3*转动，3*boost 共六个生成元，见之前的专栏QFT#1

洛伦兹群可以有不同表示。

标量场在洛伦兹变换下不变，对应于平凡表示（所有元素映射到1）

矢量场的变换用Lambda矩阵表示，这是一个4维的表示。

【定义】4维角动量：

这是一个二阶反对称张量。给出空间旋转，而给出boost.

** 接下来的这些内容，我想按我理解的逻辑进行整理。不完全是上课的内容。

【数学基础】李群

要讨论洛伦兹群的各种表示，了解一下李群还是有好处的。

李群是具有群结构的流形，其上定义的群乘法和取逆元的映射都是光滑的。这意味着群的元素g可以由一系列连续变化的群参数 α_k 描述：

并且参数可以合理设置使得 g(0) 对应单位元。

这部分内容笔者觉得中山大学的余钊焕老师的讲义就讲得很好，我在这悄悄放个截图应该没关系吧

（https://yzhxxzxy.github.io/cn/teaching.html 这是余老师的个人网站，可以找到最新版的讲义。最开始我也是在往上找些量子场论教材的时候偶然搜到的这个讲义，感觉还不错内容很详细）

【数学基础】Lorentz代数

我们要研究某个态 在洛伦兹变换下的行为。认为该态在洛伦兹变换下服从以下变换

U(lambda)应当是洛伦兹群的一个幺正表示。

Lorentz群是李群，所以采取对李群的一般研究方法，也就是研究单位元附近的无穷小Lorentz变换：

如果定义

可以使得洛伦兹变换的这一表示的恒元附近局域性质为

于是这花体的 J 就是这个表示的生成元。而omega_mu_nu是洛伦兹群的六个独立群参数，分别对应rotation和boost。具体来说，就是

分别是绕x,y,z的转动和沿x,y,z的快度。

不管怎么说，经过一通计算，可以证明生成元 J 满足的对易关系为：

上式就是Lorentz群的生成元所必须满足的李代数，称为Lorentz代数关系。

事实上，可以验证四维角动量也满足Lorentz代数关系：

准备工作大约做得差不多了。

接下来回到Lorentz群的旋量表示。话说回来这章讲狄拉克场，也就是和自旋1/2有关的场，于是要找一个Lorentz群关于自旋1/2的表示。

考虑4个满足 Dirac 代数的 γ 矩阵，即满足下式：

然后，基于此可以构造

反复利用前面的 Dirac 代数关系，可以算出

这正是Lorentz代数关系。于是，就是 Lorentz 群旋量表示的生成元。

S^{0i}对应boost，S^{ij}对应rotation.

gamma矩阵有不同的表示形式，下面列举几个：

① 手征 Weyl 表示：

② Dirac-Pauli 表示：

③ Majorana 表示

这是一个纯虚的表示。

后面的讨论中，我们主要采用手征 Weyl 表象。

其中，σ^i 是泡利矩阵，

于是旋量表示下，γ 矩阵在 Lorentz 变换下满足

其中旋量表示的矩阵：

4.2 狄拉克方程

狄拉克方程的形式是：

可以验证，γ 矩阵及 ψ 场按旋量表示变换时，Dirac 方程有洛伦兹变换不变性。

接下来，如果想构造 Lorentz 不变的 Dirac 场的拉氏量，就要考虑 ψ 场与自身的内积，最简单的构造是. 

但考虑到旋量表示矩阵不是厄米矩阵，这意味着在 Lorentz 变换 无法保这一内积不变。因此，需要狄拉克共轭：

Dirac 场的拉氏量形式为：

可以验证该拉氏量代入欧拉-拉格朗日方程可以得到狄拉克方程。

【Weyl 旋量】

前面提到用手征Weyl表示，Lorentz 群旋量表示的生成元

显然是一个完全可约表示（都是分块形式）。于是考虑把ψ场分解：

两项分别称为左手/右手 Weyl 旋量。代入前面无穷小变换的表达式和 S 矩阵的形式，可以证明左右手旋量变换规则是：

后面还有一些关于Weyl旋量的性质，这里直接放 Peskin 原文了：

4.3 Dirac方程的平面波解

满足 Dirac 方程的解必然满足 Klein-Gordon 方程，故平面波解有形式：

这里 u(p) 有4个分量，称为 Dirac 旋量，只是 p 的函数，而 p 是4-动量。

代入狄拉克方程，得 u(p) 满足

某个量上面加一斜杠，表示它与4个 gamma 矩阵的点积。

要求狄拉克方程的平面波解，核心就是解上面这个矩阵方程。

过程笔者不想多作赘述，这里想先给出两个正能解和两个负能解的形式：

正能满足 （4动量的0分量就是能量），正能解为

其中，，p是4动量。

而 s 用来标记两个不同的解，.

而负能解为

对于上面这些解，大家可以利用这个性质  来验证上面给出的两个解确实能够符合 Dirac 方程。

我们进一步讨论一下这些解意味着什么。

两个比较常用的特殊解，一是静止粒子，二是动量沿z轴的解。

可以注意到，高能极限下，动量沿z轴的两个解，一个只剩左手 Weyl 旋量，一个只剩右手 Weyl 旋量。不难猜到，这两个解对应的物理意义其实就是 z 方向自旋的两个本征态。

【定义】螺旋度 Helicity 

这是一个常用的物理量，定义为自旋在动量方向的投影。

高能极限时，h=+1/2 对应右手手征，反之左手。

零质量粒子的螺旋度是一个Lorentz不变量。

【平面波解的正交完备性】

上面两式均可以计算验证，\bar u 是狄拉克共轭。以上体现的就是正交完备关系，对于零质量粒子用后一个，有质量的可以用前一个。

【自旋求和公式】

In evaluating Feynman diagrams, we will often wish to sum over the polarization states of a fermion. We can derive the relevant completeness relations with a simple calculation:

听说这公式以后挺常用，虽然笔者暂时没搞懂能用来干啥。

4.4 Dirac场双线性型

形如  这样的表达式叫做双线性型，Γ是4*4的矩阵。

众所周知这意味着Γ有16个自由度，而这里我们希望利用四个 γ 矩阵构造全反对称形式的基。

这16个基如下：

这样，任意的 Γ 可用上面列出的16个矩阵表示。这里提一下这个符号约定：

表示一个全反对称形式的求和。

如果定义 

可以验证这个gamma5的性质为：

如果在手征Weyl表象，gamma5 的具体形式是

上面五种双线性型，在引入gamma5之后如下：

 这五种双线性型分别在Lorentz变换下表现为

Lorentz标量、Lorentz矢量、Lorentz张量、赝矢量、赝标量。

所谓“赝”，指的是在宇称（空间反演）变换下，这东西的变化比正常的东西正负是反的。

比如说两个矢量的叉乘变成赝矢量，就是因为空间反演后，矢量都反了，叉乘的这个结果没变。

这里也放一小段中山大学讲义的片段，他讲的比较专业

由此我们构造相关的两个守恒流：

4.5 Dirac场量子化

接下来量子化狄拉克场。

正则动量密度：

于是得到 Hamiltonian

接下来考虑等时量子化条件，直接类比 Klein-Gordon 场可能给出：

然而这并不是一个合适的对易关系，如果深究下去会发现这个关系在处理因果律的时候比较奇怪。具体的很多计算过程这里先不记录了，我们这里直接给出结论：

场算符的形式是：

s用来标记不同的解，可以取1和2；

a和b都是产生湮灭算符，它们满足的是反对易关系：

场算符的反对易关系为

真空态由下式给出：

Hamiltonian 用产生湮灭算符的形式写为

总动量为

单粒子态：a-dagger产生一个动量为p的正粒子，b-dagger则产生反粒子。

单粒子态满足的正交归一条件

* 新的关系对于因果律的解决：

 各自单独不能构成可观测量，只有 Dirac 场双线性型  构成可观测物理量。要满足因果律，只要类空间隔下的两个可观测量算符互不影响就可以了，

可以验证当前的方法量子化，上式是成立的。