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导数的四则运算法则

2021-11-16 19:14 作者:中国崛起呀  | 我要投稿

牛顿366、导数的四则运算法则

 

2019-05-12 22:00:31 ,网友“jyr9424”上传名为《导数的四则运算法则》的文档。

…导、数、导数:见《牛顿288~294》…

…运、算、运算:见《欧几里得121》…

(…《欧几里得》:小说名…)

 

…法、则、法则:见《欧几里得108》…


文档内容:

…内、容、内容:见《欧几里得66》…

 

一、函数和(或差)的求导法则

…函、数、函数:见《欧几里得52》…

 

设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)。

…可导:若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导…见《牛顿360》…


即:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。

也可写为(f±g)’=f’±g’

有的书上写作(u±v)’=u’±v’


证明:

…证、明、证明:见《欧几里得6》…

 

令y=f(x)+g(x)

则△y=y(x+△x)-y(x)

     =f(x+△x)+g(x+△x)-[f(x)+g(x)]

     =[f(x+△x)-f(x)]+[g(x+△x)-g(x)]

     =△f+△g

两边同时比上△x,得△y/△x=△f/△x+△g/△x

…△:读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中,△常常作为变量的前缀使用,表示该变量的变化量,如:△t(时间变化量)、△T(温度变化量)、△X(位移变化量)、△v(速度变化量)等等…见《牛顿8》…

 

∵  lim(△x→0)△y/△x=lim(△x→0)(△f/△x+△g/△x)

                     = lim(△x→0)△f/△x+ lim(△x→0)△g/△x

[极限运算法则:lim[ f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)

证明见《牛顿317》。]

…lim:limit…

[…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围。

v.限制;限定;限量;减量…]

 

∴  y’=[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)

简记为:y’=(f+g)’=f’+g’


同理可证y’=(f-g)’=f’-g’

这个法则可以推广到任意有限个函数,即(f1±f2±…±fn)’=f1’±f2’±…±fn’

 

二、函数积的求导法则

 

设f(x),g(x)是可导的函数,则[f(x)g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

 

两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即(uv)’=u’v+uv’

证:

令y=f(x)=u(x)v(x)

则△y=y(x+△x)-y(x)

     =u(x+△x)v(x+△x)-u(x)v(x)

     =u(x+△x)v(x+△x)-u(x)v(x+△x)+u(x)v(x+△x)-u(x)v(x)

[“即在u(x+△x)v(x+△x)-u(x)v(x)中间添个‘-u(x)v(x+△x)+u(x)v(x+△x)’。”现代学者说。]

     =[u(x+△x)-u(x)]v(x+△x)+u(x)[v(x+△x)-v(x)]

 

两边同时比上△x,得

△y/△x={[u(x+△x)-u(x)]/△x}·v(x+△x)+u(x)·[v(x+△x)-v(x)]/△x

 

因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当△x→0时,v(x+△x)→v(x)。

…连、续、连续:见《欧几里得44》…

 

从而:

lim(△x→0)△y/△x=lim(△x→0){[u(x+△x)-u(x)]/△x}·v(x+△x)

+lim(△x→0)u(x)·[v(x+△x)-v(x)]/△x

                   =u’(x)v(x)+u(x)v’(x)


推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:

(Cu)’=Cu’+C’u=Cu’+0=Cu’

(常数的导数是0。

证明见《牛顿333》。)

 

三、函数的商的求导法则

 

设f(x),g(x)是可导的函数,g(x)≠0,两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方。

 

[f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g^2(x)

…^:乘方…

…g^2(x):g(x)的平方…




四、复合函数求导法则:

{f[g(x)]}’=g’(x)f’(t),t=g(x)最后代入。


“拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)。

请看下集《牛顿367、罗尔中值定理》”


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