导数的四则运算法则
牛顿366、导数的四则运算法则
2019-05-12 22:00:31 ,网友“jyr9424”上传名为《导数的四则运算法则》的文档。
…导、数、导数:见《牛顿288~294》…
…运、算、运算:见《欧几里得121》…
(…《欧几里得》:小说名…)
…法、则、法则:见《欧几里得108》…

文档内容:
…内、容、内容:见《欧几里得66》…
一、函数和(或差)的求导法则
…函、数、函数:见《欧几里得52》…
设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)。
…可导:若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,[f(x0+a)-f(x0)]/a存在极限,则称f(x)在x0处可导…见《牛顿360》…


即:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。
也可写为(f±g)’=f’±g’
有的书上写作(u±v)’=u’±v’

证明:
…证、明、证明:见《欧几里得6》…
令y=f(x)+g(x)
则△y=y(x+△x)-y(x)
=f(x+△x)+g(x+△x)-[f(x)+g(x)]
=[f(x+△x)-f(x)]+[g(x+△x)-g(x)]
=△f+△g
两边同时比上△x,得△y/△x=△f/△x+△g/△x
…△:读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中,△常常作为变量的前缀使用,表示该变量的变化量,如:△t(时间变化量)、△T(温度变化量)、△X(位移变化量)、△v(速度变化量)等等…见《牛顿8》…
∵ lim(△x→0)△y/△x=lim(△x→0)(△f/△x+△g/△x)
= lim(△x→0)△f/△x+ lim(△x→0)△g/△x
[极限运算法则:lim[ f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)
证明见《牛顿317》。]
…lim:limit…
[…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围。
v.限制;限定;限量;减量…]
∴ y’=[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)
简记为:y’=(f+g)’=f’+g’

同理可证y’=(f-g)’=f’-g’
这个法则可以推广到任意有限个函数,即(f1±f2±…±fn)’=f1’±f2’±…±fn’
二、函数积的求导法则
设f(x),g(x)是可导的函数,则[f(x)g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即(uv)’=u’v+uv’

证:
令y=f(x)=u(x)v(x)
则△y=y(x+△x)-y(x)
=u(x+△x)v(x+△x)-u(x)v(x)
=u(x+△x)v(x+△x)-u(x)v(x+△x)+u(x)v(x+△x)-u(x)v(x)
[“即在u(x+△x)v(x+△x)-u(x)v(x)中间添个‘-u(x)v(x+△x)+u(x)v(x+△x)’。”现代学者说。]
=[u(x+△x)-u(x)]v(x+△x)+u(x)[v(x+△x)-v(x)]
两边同时比上△x,得
△y/△x={[u(x+△x)-u(x)]/△x}·v(x+△x)+u(x)·[v(x+△x)-v(x)]/△x
因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当△x→0时,v(x+△x)→v(x)。
…连、续、连续:见《欧几里得44》…
从而:
lim(△x→0)△y/△x=lim(△x→0){[u(x+△x)-u(x)]/△x}·v(x+△x)
+lim(△x→0)u(x)·[v(x+△x)-v(x)]/△x
=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:
(Cu)’=Cu’+C’u=Cu’+0=Cu’
(常数的导数是0。
证明见《牛顿333》。)
三、函数的商的求导法则
设f(x),g(x)是可导的函数,g(x)≠0,两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方。
即
[f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g^2(x)
…^:乘方…
…g^2(x):g(x)的平方…






四、复合函数求导法则:
{f[g(x)]}’=g’(x)f’(t),t=g(x)最后代入。


“拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)。
请看下集《牛顿367、罗尔中值定理》”
若不知晓历史,便看不清未来
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