【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep47】Stolz公式的习题来了！

今天按计划来讲Stolz公式的例题，这一部分习题都很简单，除非计算特别复杂——

33Stolz公式

在此之前我们先复习一下Stolz公式的内容和适用范围——

Stolz公式如下——

1. 对于*/∞型的数列xn/yn，其中——

2. 存在自然数N"，使得n>N"时，yn是单增数列，即，yn+1>yn；

3. 在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]为有限值或趋向于无穷的情况下；

4. 公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。

其中1~3是条件，4是结论——因为正常做题不可能会像教材上一样把一道用这个定理的题就出在这个定理下面，所以遇到数列极限的题目，一定要按照如下原则去操作——

1. 判断这个数列是不是可以看做两个数列比值的形式；

2. 判断分母是不是从某一项开始单调数列：不单调，考虑别的方法——如上/下极限；单调，则用Stolz公式——

3. 单增数列直接用该公式，单减，则该分母的相反数构成的数列单增，即可转化；

4. 如果是不定式转化为∞/∞型的“不定式”——

   0/0型做如下转化xn/yn=1/[（1/xn）/（1/yn）]；

   ∞-∞型利用分子有理化转化；

   0*∞型做如下转化xn*yn=yn/（1/xn）。

   
   

下面看习题，因为这部分内容连着前面求数列极限的习题，所以题号接上次习题的号数——

12.求数列极限lim（a^n/n），a>1

按步骤分析{a^n/n}——

1. 数列{a^n}为无穷大，数列{n}也是无穷大，显然这个数列是∞/∞型不定式；

2. 分母对应的数列{n}显然是单增数列，所以直接套用Stolz公式即可。

解题——

1. 对数列{a^n/n}，显然xn=a^n，yn=n；

2. 求出lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim { [a^n-a^（n-1）]/[n-（n-1）] }=lim [a^n-a^（n-1）]=lim （a^n）（1-1/a）=lim （a^n）lim（1-1/a）=lim（a^n）=+∞；

3. 所以lim（a^n/n）=lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=+∞。

13.求数列极限lim（a1+a2+……+an）/n，lim an=a（a为有限极限或无穷）

按步骤分析{（a1+a2+……+an）/n}——

1. 显然该数列可以看做两个数列的比值形式；

2. 其中数列{n}是单增无穷大，可以直接用Stolz公式。

解题——

1. 对数列{（a1+a2+……+an）/n}，显然xn=a1+a2+……+an，yn=n；

2. 求出lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim (an/1 )=lim an=a；

3. 所以lim（a1+a2+……+an）/n=lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=a。

14.求数列极限lim（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1），k是自然数——

按步骤分析{（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）}——

1. 数列{1^k+2^k+……+n^k}为无穷大，数列{n^（k+1）}也是无穷大，显然这个数列是∞/∞型不定式；

2. 分母对应的数列{n}显然是单增数列，所以直接套用Stolz公式即可。

解题——

1. 对数列{（1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）}，显然xn=1^k+2^k+……+n^k，yn=n^（k+1）；

2. xn-xn-1=（1^k+2^k+……+n^k）-[1^k+2^k+……+（n-1）^k]=n^k；

3. yn-yn-1=n^（k+1）-（n-1）^（k+1）=[n-（n-1）][n^k+n^（k-1）*（n-1）+……+（n-1）^（k-1）*n+（n-1）^k]=n^k+n^（k-1）*（n-1）+……+（n-1）^（k-1）*n+（n-1）^k；

4. 求出lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=lim {n^k/[n^k+n^（k-1）*（n-1）+……+（n-1）^（k-1）*n+（n-1）^k] }=lim {1/[1+（1-1/n）+……+（1-1/n）^k] }=1/（k+1）；

5. 所以lim （1^k+2^k+……+n^k）/n^（k+1）=lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]=1/（k+1）。

还有一道题计算上面比较复杂，明天继续！