神奇小猪 | 3-3 空间向量证明平行垂直

0️⃣直线和平面的平行垂直关系

平行：线线平行、线面平行、面面平行

垂直：线线垂直、线面垂直、面面垂直

1️⃣如何用空间向量表示“线”

两个坐标相减，用方向向量表示线

2️⃣如何用空间向量表示“面”

找跟这个面垂直的法向量，用法向量表示面

3️⃣用空间向量证明平行

注：平行的证明记得排除"重合"的情况！否则解答题会扣分!

线线平行：a // b

线面平行：a·n =0

面面平行：n₁ // n₂

4️⃣用空间向量证明垂直

线线垂直：a·b =0

线面垂直：a // n

面面垂直：n₁·n₂=0

5️⃣法向量求法

• a·n=0
• b·n=0
• 解n

1. 求其中两个向量
2. 列两个数量积=0的方程
3. 解出来

6️⃣“法向量"的速算之法

1. 每个向量写两遍
2. 掐头去尾留中间
3. 交叉相乘再相减
4. 法向量是翁中鳖

7️⃣空间向量证明平行垂直综合

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，AC =BC =2，CC₁ =3，点D，E分别在棱AA₁和棱CC₁上，且AD =1，CE =2，M为棱A₁B₁的中点

（I）证明：C₁M ⊥ B₁D

（II）证明：C₁M // 面B₁DE

（1）求点坐标，中点用中点坐标公式

证明是可以建系的，说一下建系，他们是垂直的，数量积相乘等于0

（2）求这个面的法向量

这条线跟法向量垂直

记得补充线C₁M不在面上

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，Р为侧棱SD上的点

若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE //平面PAC。若存在，求SE:EC的值，若不存在，试说明理由

因为是四棱锥，O点建系

求点坐标，设E点坐标（用λ表示）

三点共线：SE = λSC

证明线面平行，那就线跟法向量的数量积=0

不用特意求PAC法向量，题目都给条件了，说SD⊥平面PAC，那么SD就是法向量

BE·SD，λ=2/3