[少女前线] 量化输出曲线的价值

2023-03-22 09:50 作者:三千院-亚里亚 0人读过 | 我要投稿

引子

几年前加了一个少女前线qq群. 因为我说夜战As Val比ar15强, 令群主不满, 于是我就被踢了. 后来连续两年几乎没有夜战, 我的两个120级As Val就在吃灰. 长江后浪推前浪, 曾经的夜战顶级配队早已被替代. 为了写此文, 我又想到了这段过往.

上图是19年的夜战队的20秒输出曲线, 敌人0甲20闪, 来自乐章的模拟器(真是个好工具啊, 可惜乐章不更新了), 从图上来看, 小熊5秒开始爆发, 到11秒爆发结束开始疲软, 慢慢的被AR15赶上, 在20秒时两人基本打平. 一般讨论输出手的DPS时, 都是以20秒打靶为基准. 那么问题来了, 既然20秒两人输出差不多, 为什么我说小熊更强呢?

有3个原因. 1, 小熊打甲更强; 2, 小熊有必中,打高闪更强; 3.小熊的爆发期早. 换句话说, 就是输出曲线形状更好. 因为第3个原因, 即使是打0甲低闪敌人, AR15的使用手感也是不如小熊的.

爆发期早, 就能更早的消灭敌人, 显然有好处. 我思考的是, 好多少? 能不能量化? 给定两条输出曲线A和B, 有没有可能说出"A比B强了25%"? 这就是本文要讨论的.

输出曲线的定义

伤害(Damage, Dmg), 也叫做输出, 是指在战斗中对敌人造成的损失. 伤害和战斗时间有关。如果我们用一个二维图来表示, 横轴是时间, 纵轴是这段时间造成的总伤害. 那么伤害和时间之间的关系就可以画成一条连续的曲线, 被称为输出曲线.

DPS, 是Damge per second的缩写, 意思是每秒伤害. 可以理解为伤害功率:

$dps(t)%20%3D%20%5Cfrac%7BdDmg(t)%7D%7Bdt%7D%20$

也可写成积分形式:

$Dmg(T)%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7D%20dps(t)dt%20$

公式不够直观, 举个例子. 最简单的情况, 当dps恒定时, 总输出和时间是线性关系. 作图如下

$dps(t)%20%20%3D%20C%20%5Cimplies%20Dmg(t)%20%3D%20Ct$

下图是非恒定dps的例子. 随着时间增加dps越来越小, 在二维图上dps是一条斜率为负的直线. 所对应的输出曲线是一条抛物线. 一次函数的积分就是二次函数嘛.

输出曲线的价值: 一个简单模型

衡量输出的价值, 常用的指标(metrics)有这么几个:

给定敌人, 战斗时间越短越好.
给定战斗时间, 总输出越高越好.
给定敌人, 到敌人被歼灭为止, 敌人造成的总伤害(也就是我方战损)越少越好.

为了衡量输出曲线形状的价值, 我会固定总输出. 这样前两个指标就是固定值, 不能用来比较. 所以这三个常用指标里唯一有效的就是我方战损.

为了简化模型, 假设

敌人对我方造成的伤害和敌人的总血量成正比. 这里有几个隐含假设: 怪组里的敌人具有同质性; 单位敌人的dps恒定与时间无关; 我方T的防御力恒定与时间无关.
敌人的总血量降低 = 我方造成的总伤害. 这就是说不虑编制保护伤害溢出.

这样我们可以写出等式:

敌人总伤害和dps的关系(这里T是我方全歼敌人所需的总时间)

$Dmg_%7B%E6%95%8C%7D(T)%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7D%20dps_%7B%E6%95%8C%7D(t)dt%20$

敌人dps和敌人血量的关系(c是常数):

$dps_%7B%E6%95%8C%7D(t)%20%3D%20cH_%7B%E6%95%8C%7D(t)$

敌人血量和我方伤害的关系:

$H_%7B%E6%95%8C%7D(t)%20%3D%20H_%7B%E6%95%8C%7D(0)%20-%20Dmg_%7B%E6%88%91%7D(t)$

边际条件:我方时间T时的总输出等于敌方总血量:

$H_%7B%E6%95%8C%7D(0)%20%3D%20Dmg_%7B%E6%88%91%7D(T)$

合并一下:

$Dmg_%7B%E6%95%8C%7D%20(T)%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7D%20cH_%7B%E6%95%8C%7D(0)%20-%20cDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$

$%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7D%20cH_%7B%E6%95%8C%7D(0)dt%20-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7DcDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$

$%3D%20cH_%7B%E6%95%8C%7D(0)T%20-%20c%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7DDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$

$%3D%20dps_%7B%E6%95%8C%7D(0)T%20-%20c%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7DDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$

这个等式蕴含的意思并不显而易见. 用人话说,

$%E6%95%8C%E4%BA%BA%E9%80%A0%E6%88%90%E7%9A%84%E6%80%BB%E4%BC%A4%E5%AE%B3%20%3D%20%E6%95%8C%E4%BA%BA%E7%9A%84%E5%88%9D%E5%A7%8Bdps%5Ctimes%20T%20-%20%E6%88%91%E6%96%B9%E6%89%80%E6%9C%89%E6%97%B6%E5%88%BB%E7%9A%84%E4%BC%A4%E5%AE%B3%E7%9A%84%E5%92%8C$

也可以把第一项换个写法:

$%5Cfrac%7B1%7D%7Bc%7D%20Dmg_%7B%E6%95%8C%7D%20(T)%3D%20Dmg_%7B%E6%88%91%7D(T)%5Ctimes%20T%20-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7DDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$

敌人dmg前的常数项并不影响结论, 只是影响坐标轴的单位. 可以通过改变敌人dmg的单位把常数项归一化, 也就变成了

$Dmg_%7B%E6%95%8C%7D%20(T)%3D%20Dmg_%7B%E6%88%91%7D(T)%5Ctimes%20T%20-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7DDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$

用语言表达并不容易理解, 这就是为什么我喜欢"一图胜千言". 如上图, 还是前面用过的输出曲线, 绿色线代表我方dps, 为恒定值. 橙色区域的边沿的线代表我方的总伤害. 那么橙色区域围成的面积代表什么呢? 其实就是 $%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7BT%7DDmg_%7B%E6%88%91%7D(t)dt%20$