还真是：平平无奇啊（2019课标Ⅰ圆锥曲线）

2022-08-13 17:23 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2019课标Ⅰ，19）已知抛物线 $C$ ： $y%5E2%3D3x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A$ 、 $B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ .

（1）若 $%5Cleft%7C%20AF%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20BF%20%5Cright%7C%3D4$ ，求 $l$ 的方程；

（2）若 $%5Coverrightarrow%7BAP%7D%3D3%5Coverrightarrow%7BPB%7D$ ，求 $%5Cleft%7C%20AB%20%5Cright%7C$ .

（1）解：设 $l$ 的方程为 $x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy%2Bt$ ，

与 $C$ 联立，得 $y%5E2-2y-3t%3D0$ ，

所以 $y_1%2By_2%3D2$ ， $y_1y_2%3D-3t$ ，

所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Cleft%7C%20AF%20%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%20BF%20%5Cright%7C%26%3Dx_1%2Bx_2%2Bp%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy_1%2Bt%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy_1%2Bt%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(%20y_1%2By_1%20%5Cright)%20%2B2t%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ctimes%202%2B2t%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D2t%2B%5Cfrac%7B17%7D%7B6%7D%3D4%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

解得 $t%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B12%7D$ ，

所以 $l$ 的方程为 $x%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B12%7D$ ，

即 $12x-8y-7%3D0$ .

如图：

（2）由题可知 $y_1%3D-3y_2$ ，

又因 $y_1%2By_2%3D2$ ，

二者联立，解得 $y_1%3D3$ ， $y_2%3D-1$ ，所以 $%5Cleft%7C%20AB%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Cright)%20%5E2%2B1%7D%5Ctimes%20%5Cleft%7C%203-%5Cleft(%20-1%20%5Cright)%20%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B3%7D$ .

如图：

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