【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep14】数字革命：无穷视界
大家好，我是喜欢读数学书的老碧，我们今天继续之前的话题——每天五分钟，数学更轻松！
在此之前我们先回顾，戴德金分割对有理数分划的定义：
由此，我们得出，这种分划逻辑上分四种类型，
1.上组有最小数，下组无最大数；
2.上组无最小数，下组有最大数；
3.上组下组都无最值；
4.上组下组都有最值。
第四种情况我们用有理数的“稠密性”证明了不可能存在，于是分划只分为三种类型：
1.上组有最小数，下组无最大数；
2.上组无最小数，下组有最大数；
3.上组下组都无最值。
显然，其中第1，2种情形都对应了有理数作为分界线——“界数”——的情况，于是每一个有理数都对应了两个分划。本着数学定义的“消歧义性”，人为规定，把“界数”归为上组或下组，因教材而异。这本书取，“界数”落在上组的情况，作为有理数的定义形式。”
这样，数与分划实现了“一一对应”。
上一节，我们提到，实数的定义方式，本质上是找到一个与实数“一一对应”的集合。
而“一一对应”，作为数学专业一种常见的命题——
在数学中是一种重要的题型，最朴素的思路便是，我们要验证两个集合X和Y之间的元素“一一对应”，一般先验证，X中任何一个元素对应的Y中的元素是唯一的，再反过来，证明Y中任何一个元素对应的X中的元素是唯一的就好了。
下面，我们就引入第二种，对“无理数”的定义方式——“无限十进小数”的定义方式——
老碧高能预警：“这一部分的语言表达优点崎岖哦，宝宝们一定要看清楚断句，不然一定会绕进去的呢！”
9用无尽小数来表示实数
Opps，书上用的是“无尽小数”，老碧这个傻子记错了，不过无伤大雅了，各位宝宝，记住“无限小数”=“无穷小数”=“无尽小数”就好了。反正都是翻译的锅！
既然要达到用“无尽小数”表示实数的目的，自然地，就先得对“无尽小数”下一个定义。
（注：我们知道任何一个“十进小数”都分为“整数部分”和“小数部分”，而真正在这个定义的验证的重点是“小数部分”，因为“整数部分”总可以用一个确定的整数（正，0，负）来表示，小数部分的情形则比较复杂。
以我们都知道的根号2为例，我们可以知道它小数部分的前有限位，哪怕1亿亿亿亿位，但是我们无法给定它小数部分的全部——于是如何通过一个对象的局部去推断整体，就成为了数学中间一个重要的命题，即“分析学”的核心目的。）
书中首先给出了关于“十进小数”的一个简要说明：
接着，书上先考虑了情形一——
1.不是有尽小数（含整数）——我们还不知道这种小数是什么情况，我们要去定义它。
这里用到的方法就是老碧之前介绍过的“构造法”，意思也很简单，由“有理数分划”的定义出发：
下组取整数N，上组取整数M，那么界数必然位于两数之间。
令N+1=N1，比较N1与界数——
如果N1大于界数，则终止操作，令N=C0；
如果N1不大于界数——
则令N2=N1+1，如果N2大于界数，则终止操作，令N1=C0；
如果N2不大于界数——
……
将该步骤进行下去，总会取得一个数，使得Nk小于界数，Nk+1大于界数，令Nk=C0即可；
界数位于C0与C0+1之间（在这个过程中取不到界数的原因在于，操作中任何一个数都是整数，而界数不是整数）。
因为是十进小数，所以，C0与C0+1之间的一位小数有九个，记为C0.1，C0.2，C0.3，C0.4，C0.5，C0.6，C0.7，C0.8，C0.9，这九个数将C0与C0+1之间均分为十等份，而界数必然落在其中某一个小区间，记区间较小的端点为C0.c1，即界数落在C0.c1与C0.c1+1/10之间（依然界数不会跟任何一个区间的端点重合，因为该界数不是有尽小数）。
因为界数不是“有尽小数（含“整数”）”，所以类似3的步骤可以一直进行下去，对于任意的n，都存在有尽小数C0.c1c2……cn，使得界数位于C0.c1c2……cn与C0.c1c2……cn+1/10^n之间，每一步得到的有尽小数，都与我们要构造的数的距离更近。
那么，将过程推向无限，最终会得到的，就是上述一连串有尽小数无限靠近的那个数值，即这一列数的极限，还记得老碧在Ep8中提到过“极限论里有一个重要常识就是—一个变量的极限，这个变量不一定能达到”吗？于是我们就从无限的操作中得到了对那个不是“有尽小数”的数——C0.c1c2……cn……——我们称之为“无尽小数”
这才由一个操作法引出了“无尽小数”的定义。
至于如何由“无尽小数”实现与实数的一一对应，我们下回再说！
