【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

绪论

1、几何学研究的对象

【01】我们已经学习过算术和代数的初步知识，这两门课都是研究数的运算性质的。现在我们要开始学习数学的另一门学科：“几何学”，它研究物体的形状、大小和相互位置关系。

【02】在日常生活里，我们经常要观察周围的各种物体。我们是怎样去观察的呢？经验告诉我们，首先看到的是各种物体的外形和颜色，其次是物体的重量和组成它们的元素等等。但是在区别各种物体的时候，最容易识别的还是物体的形状和大小。人类为了满足生活上的需要，在制造一些器具时，常常考虑它们的形状和大小要适合实际应用。

【03】例如床的形状就需要是长方形的，它的大小要能够容纳人体的长度；汽车的车轮是圆形的，目的是使它在地面上容易滚动，并且在滚动时保持车身的平稳（图1）。

【04】我们在观察事物的过程中，还可以看到这个物体和那个物体之间的位置关系，这些位置不是随便放的，这就需要我们来研究怎样放才是适当的。

【05】例如图2中车间里正确地安装机器；田野里装置排灌设备等等，都需要一番研究才行。

【06】几何学研究的对象就是物体的形状、大小和相互的位置关系。

2、几何学的发展简史

【07】几何学的产生和别的学科一样，也是由于人类生产和生活的需要。在原始社会里，人们已经积累了许多物体形状和大小，以及它们的分布位置关系的知识。例如古代的人们为了记住他们居住和打猎的地方，就逐渐地学会怎样来判定各个地方之间的距离，怎样来测量各个地区的大小。

【08】随着人类社会的发展，对于物体的形状、大小和相互位置关系的知识，要求愈来愈高，就这样经过劳动人民长期的生产和生活实践，积累了许多几何知识，并不断地丰富起来，形成了人类知识的一个部门。

【09】谈起几何学的发展历史，就会联想到古埃及尼罗河的故事。相传 4000 多年前，尼罗河每年洪水泛滥把两岸的土地淹没，水退后河床常有变易，致使土地界线不明，当时埃及的劳动人民为了明确自己耕地的界线，用步伐测出土地的周界，并计算它们面积的大小，画出耕地的图形，作为划分土地的依据。由于经常的测量和画图，不断地积累和提高的结果，归纳出不少的图形知识，就这样产生了初步的几何学。

【10】后来希腊人到埃及去经商，学到了测量和绘图的知识，再逐步加以补充，使这些初步的几何知识充实成为一门完整的几何学。“几何学”这个名词，希腊文原来的意义是“测量土地的技术”，一直沿用到今天。

【11】公元前 338 年，希腊人欧几里得在亚力山得里亚大学教课，他把埃及和希腊的几何学知识，作了系统的总结和整理，写成一本“几何原本”。这本书对于几何学的发展，曾起了很大的作用，直到现在，中学几何课本还是根据它来编写的。

【12】我国的祖先对于几何学很早就有研究，同埃及和希腊人一样作出了光辉的成绩。在我国黑陶文化时期（约公元前四千年）〖山注：原书此处是“约公元前一千年”，这肯定是原书写错了，因为公元前一千年时，姜子牙都要下山封神了，如果黑陶文化是这一时期的，以它连商代蛮夷野人都不如的水平，怎么可能稳居华夏富饶之地；后我查阅了一下资料，根据相关研究报告，将此处更正为“约公元前四千年”〗，陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等等的图样（图3）。

【13】在墨翟（约公元前 500 年）所著的“墨经”里，提出了关于几何图形的一些知识。在古算书“九章算术”里，载有土地面积和物体的体积计算方法。在另一本古算书“周髀算经”里，叙述了关于直角三角形的边长的比为 3:4:5，这个例子说明直角三角形斜边上所作的正方形面积等于两直角边上所作正方形面积的和（图4）。

【14】可以查考的例子还很多，这里不多举了。

3、组成几何图形的元素

【15】如果我们只注意一个物体的形状和大小，不管它的其他性质时，这样的一个物体也叫做几何体。例如图 5 中一根圆形的木料和一只圆形的铅桶，尽管它们的颜色、重量和其他性质都不相同，但是只注意它们外表的形状，却都是一个圆柱形的几何体。

【16】又如图 6 中一个皮球和一个和它同样大小的木球，虽然它们的其他性质都不相同，但却是两个完全相等的球体。

【17】我们知道，任何物体都占有一部分空间，都用它的表面和它的周围分开的，因此我们说面是体的界限。例如物体和它邻接的空气分开的地方就是这个物体的表面。我们可以放弃物体的本身，单独来想象它的表面，这样就把几何里的面看成是没有厚度的了。我们用一只玻璃杯装着水和油（图7），因为油比水轻都浮在水的上面，可以清楚水地看出水和油分界的地方，就是它们共同的表面。很明显，这样的面是没有厚度的。

【18】如果我们想象两个面相交的部分，就会得到几何里的线。实际上我们所看到的线都是两个面的公共部分。因此，我们说线是面的界限。例如图 8 中火柴盒的棱就是相邻两个面的相交线。一张白纸上泼了一滴墨水，这两种颜色的分界也是一条线。

【19】从这些例子可以看到线是没有厚度，也没有宽度的。

【20】如果我们想象两条线相交的地方，就会得到点的形象。实际上点就是两条线的公共部分，因此，我们说点是线的界限。例如图 9 中的两条线的公共部分都是点。

【21】可以看到点是没有厚薄、宽窄和长短的，它只占有一个位置。例如地图上就是用点来确定城市的位置的。

【22】我们所说的点、线、面都不能单独存在，而只能是依附于物体的。但是在几何里为了研究它们的性质，常常把它们分开来研究，这并不是认为点，线、面是互不相关的。

【23】点、线、面是组成几何图形的元素，因此点、线、面以及它们的集合，都称为几何图形。

【24】可以全部放在一个平面内的图形，又叫做平面图形。这些平面图形我们在小学算术里已经看到不少。例如图 10 中的一些。

【25】平面几何学就是研究平面图形的性质、作法和计算等问题。

习题

1、试举一实例来说明物体与几何体的区别。【例如铅笔匣子是一个物体，但如果只研究它的形状和大小，而不管其他性质时，就可以把铅笔匣子看做是一个长方体形状的几何体】

2、一只火柴盒有几个面？几条棱？几个顶点？【有6个面，12条棱，8个顶点】