互为倒数的零点(2019课标Ⅱ(文)导数)
(2019课标Ⅱ文,21)已知函数
.证明:
(1)
存在唯一的极值点;
(2)
有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.


解:(1)求导,得
易知,
且,
,
故存在唯一,使得
.


当,
,
;
当,
,
;
故存在唯一的极小值点
,无极大值点,证毕.



(2)由(1)可知,
即,所以(隐零点代换)

又因为
,
,
故存在、
,
使得.(横屏观看)



又因为
且,
所以,证毕.


留个思考题:
为什么会出现两个互为倒数的零点?它是如何编出来的?