很水的数学分析020：柯西收敛原理和实数完备性定理总结

1.不是Cauchy列的经典说法：∀ε＞0，∃N∈IN*，∀n＞N，｜a(n+1)-an｜＜ε，举an=√n的反例。（f(x)=√x是一致连续但不Lipschitz连续的例子。没啥关系，只为放一块记忆）

史济怀老师书上的习题给的是｜a(n+p)-an｜≤p/n对一切n,p∈IN*成立，道理相同，可以举调和级数的例子。

2.证明Cauchy收敛原理。

①先证有界

②选出收敛子列趋于a，证明a是整个数列的极限。

或者：根据Cauchy列条件，∀ε＞0，可取出aN，aN-ε＜an＜aN+ε。左边等号取下极限，右边等号取上极限。

3.用Cauchy收敛原理证明确界原理。

设非空有上界的集合S，构造一个Cauchy列，使得它的极限就是S的上确界。

反复用到“∀n，存在唯一的kn，使得kn/n是S上界，而(kn-1)/n不是S上界”。kn/n就是那个Cauchy列，设为λn，收敛于λ。∀n，λn是S上界，保证了λ是上界。再根据（ⅰ）λn-1/n不是上界；（ⅱ）Aichimedes性质1/n＜δ/2；（ⅲ）数列收敛性质，λn＞λ-δ/2。从而λ是上确界。

4.总结一下刻画实数完备性的7个命题。

先记录下目前理解，等学完拓扑相关部分再更新理解。

我觉得①Dedekind定理、②确界原理、③Heine—Borel定理、④单调收敛原理都是从单侧趋近的角度刻画实数完备性的。（①④强调趋近一个点，②③分别趋近于两个端点。④的趋近过程不用人为找顺序，直接按自然数后继映射方向就是趋近方向；其他的本来没有顺序，但可以人为找顺序使其趋近目标）

⑤闭区间套定理从极限两侧分别单调趋近。

⑥Bolzano—Weierstrass定理从“聚集”角度刻画实数完备性。有界数列不可能“不聚集”，只可能在有限个点、可数个点聚集，或者“处处聚集”，或者“几乎处处聚集”。

①②③④是一类特殊的收敛方式（单侧不越界），⑤是可以从两侧分别趋近同一个点，但不存在“交错”，⑦Cauchy收敛原理中数列可以“交错”，⑥中数列不一定有极限。