看不懂的高等代数（二）

介绍了线性方程组的基本内容以及利用矩阵给出的基础解法之后，我们要进一步研究线性方程组解的情况。我们在上一篇专栏的最后已经简单介绍过了以矩阵方式对线性方程组的解的存在性与解法的表达，这一篇当中，我们主要将这一结论细化并且系统化，在此基础上引出一些有关线性方程组及其解的基本概念。

Chapter  One  线性方程组

1.2  线性方程组的解的情况及其判别准则

我们知道，线性方程组的解的存在性有三种情况：有唯一解，有无穷多组解和无解。在上一篇专栏当中，我们利用矩阵简化了线性方程组的表达形式，并且将线性方程组的求解转化为了对矩阵进行初等行变换。

我们在上一节又提到过，任何矩阵都能通过初等行变换转化为行阶梯形矩阵。（上一篇专栏中的命题1，大家自行证明一下即可~）于是，线性方程组的解，就变成了变换后的行阶梯形矩阵的表达形式的问题。显然，结合线性方程组的含变量形式，我们有：

（1）矩阵中出现：

的行时，线性方程组无解；

（2）当矩阵中无上述行时，那么显然，任何一个非零行的主元都不可能位于最后一列。（否则就会出现上述行。）若以记主元所在列的列序数，则有：

回忆我们在数学分析部分曾经介绍过的一个基本事实（可能是在数列部分）：

于是就有：

这说明行阶梯形矩阵在无上述行时，其非零行的数目最多是n。

①r=n时，有：

这说明最后一个非零行的行序数和列序数都应该是n。又结合行阶梯形矩阵的定义，我们就能很容易的得到，任何一个非零行的主元的行序数与列序数都应该相等。

（命题1）

此时，我们就能将增广矩阵化成如下形式：

显然，方程组的解唯一且能解出。

②r＜n时，通过交换变量位置，并重新标记变量序数，就有：

略去零行对应的方程，我们就得到了一组解：

对方程等号右侧的变量任意赋值，都能够得出一组解。于是，此时，这一方程组有无穷多组解，并且一般解的形式如上。

如果一个线性方程组有解，我们就称其为相容的；否则称其为不相容的。

所以，现在我们就有了利用矩阵求解方程组的一套一般算法：

（1）将方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵；

（2）判断是否有的行。若有，则无解；若无，则继续化为简化行阶梯形矩阵；

（3）判断r与n之间的大小关系，给出结论与解。

这样的算法流程称为Gauss-Jordan算法。

我们按照原方程组的等号右侧的数项的取值进行分类，将常数项全为0的方程组称为齐次线性方程组，而将不全为0的方程组称为非齐次线性方程组。

可以看出，任何齐次线性方程组都一定有零解（变量全部为0的解），这说明增广矩阵经过初等行变换化简之后，其非零行的个数一定小于等于n。进而，我们就能有：

齐次线性方程组有无穷多组解的充分必要条件为其对应的增广矩阵经过初等行变换化简之后，其非零行的个数小于n。

（命题2）

Chapter  One  线性方程组

1.3  数域

我们在解方程组的讨论当中涉及到了对矩阵的初等行变换，其本质上是行与行之间的四则运算。显然，我们做了这些运算之后，方程只是改变了系数形式，而并没有发生本质上的改变。换句话说，方程的变量没有发生本质上的变化（没有从一次元变为二次元或者非整数次元），系数本身也还是实数（没有变成复数）。这实际上得益于实数集的一个优良性质——对四则运算的封闭性。

我们在数学分析部分已经简单引入过了封闭性的一些基本概念（甚至是在第一篇专栏）。所谓封闭性，实际上就是对于某一集合引入某一种运算，运算的结果仍然是该集合内的元素。此时，我们就称该集合对该运算封闭。

那么，对于满足四则运算封闭性的数集，我们就给它一个名字——数域。

更细致一点的定义，还要再补足一些公理：

（1）

（2）中的元素对四则运算封闭。

按照这一定义，我们可以证明：

（1）复数集是最大的数域；

（2）有理数集是最小的数域。

（命题3）

（注意，这里的大小关系并不考虑集合的势，而只是研究集合之间的包含关系。）

如果线性方程组的系数全部来自于某一数域，我们就称该方程组为“数域上的线性方程组”。

至此，有关线性方程组以及其引出概念的介绍就到此为止了。值得注意的是，这一章的概念与思想在后面我们还会反复地遇到与介绍，尤其是有关数域的概念，在向量组与多项式的部分还会涉及，所以有必要好好理解一下~

思考：

1. 证明命题1；

2. 证明命题2；

3. 证明命题3；

4. a为何值时，下列方程组有解：

   

5. 证明：

   

   是一个数域。

みんながすべてマスターすることができることを望み ます！