【数学基础Ep19】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

2. 收敛数列必有界；

3. 有限个无穷小的和还是无穷小；

4. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

5. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a。

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

设有{an}满足lim（a1+a2+……+an）=A，试证明：

a.lim（a1+2a2+……+nan）/n=0.

b.lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

证：

a.

1. 令S0=0，Sn=a1+a2+……+an，an=Sn-Sn-1，已知lim Sn=A，则lim（S1+S2+……+Sn）/n=A；

2. a1+2a2+……+nan

   =（S1-S0）+2（S2-S1）+……+n（Sn-Sn-1）

   =-（S1+……+Sn-1）+nSn；

3. lim（a1+2a2+……+nan）/n

   =-lim（S1+……+Sn-1）/n+lim Sn

   =-lim（S1+……+Sn-1）/（n-1）lim（n-1）/n+lim Sn

   =-A*1+A=0.

b.

1. n！a1*a2*……*an

   =1a1*2a2*……*nan

2. 由均值不等式：

   0

   <=（n！a1*a2*……*an）^（1/n）

   =（1a1*2a2*……*nan）^（1/n）

   <=（a1+2a2+……+nan）/n；

3. lim（a1+2a2+……+nan）/n=0，所以lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

三个向量有公共的始点O，并分别以三角形ABC的顶点为终点.试证OA+OB+OC=0的充要条件为：点O为三角形ABC的重心。

证：

a.充分性：若O为三角形ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB中点——

1. OA

   =2DA/3

   =2（DB+BA）/3

   =2[（CB/2）+BA）/3

   =（CB+2BA）/3

   =[（OB-OC）+2（OA-OB）]/3

   =2OA/3-OB/3-OC/3；

2. 由1：OA+OB+OC=0。

b.必要性：OA+OB+OC=0，设G为三角形ABC重心——

1. OA=-（OB+OC）；

2. GA

   =2DA/3

   =2（DB+BA）/3

   =2[（CB/2）+BA）/3

   =（CB+2BA）/3

   =[（OB-OC）+2（OA-OB）]/3

   =2OA/3-OB/3-OC/3；

3. 由1：

   GA

   =2OA/3-OB/3-OC/3

   =2OA/3-（OB+OC）/3

   =-2（OB+OC）/3-（OB+OC）/3

   =-（OB+OC）

   =OA；

4. OG=OA+AG=OA-GA=0，则O点，G点重合，即O为三角形ABC的重心。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子胥 编）》）——

设A，B，C均为n阶矩阵.证明：如果B=E+AB，C=A+CA，则B-C=E.

证：

1. C=A+CA，则C-CA=A，则C（E-A）=A；

2. B=E+AB，则B-AB=E，则（E-A）B=E；

3. C=CE=C（E-A）B=AB；

4. B=E+AB=E+C，则B-C=E.

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