【数学基础35】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
混合积：向量a与b的外积，再与向量c作内积，结果是一个数量，称为三向量依顺序a，b，c的混合积，记为（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合积性质：
a.当a，b，c组成右手系时，（a，b，c）>0；
b.当a，b，c组成左手系时，（a，b，c）<0；
几何意义：（a，b，c）是以a，b，c为邻边的平行六面体的体积；
性质：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是实数）。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试证明下列极限式：.lim n^（1/n）=1
证：利用伯努利不等式（牛顿二项式展开）：对a>1，令a=1+α，
a^n=（1+α）^n=1+nα+n（n-1）α^2/2+……>1+nα，
a^n=（1+α）^n=1+nα+n（n-1）α^2/2+……>n（n-1）α^2/2，n>=2——
n>1时，n^（1/n）>1，令hn=n^（1/n）-1（n>1）；
n>1时，n=（1+hn）^n>n（n-1）hn^2/2，即hn<2^（1/2）/（n-1）^（1/2）；
0<n^（1/n）-1=hn<2^（1/2）/（n-1）^（1/2）；
lim 2^（1/2）/（n-1）^（1/2）=0，则lim n^（1/n）=1.
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
已知四面体ABCD的顶点坐标A（0,0,0），B（6,0,6），C（4,3,0），D（2,-1,3）,求它的体积.
解：
已知四面体ABCD的体积V等于以AB，AC的和AD为棱的平行六面体的体积的六分之一，因此V=|（AB,AC,AD）|/6；
AB=（6,0,6），AC=（4,3,0），AD=（2,-1,3）；
（AB,AC,AD）=-6，V=|（AB,AC,AD）|/6=1.
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：若B1，B2都与A可交换，则B1+B2，B1B2也都与A可交换.
证：
B1，B2都与A可交换，即B1A=AB1，B2A=AB2；
（B1+B2）A=B1A+B2A=AB1+AB2=A（B1+B2）；
（B1B2）A=B1（B2A）=B1（AB2）=（B1A）B2=（AB1）B2=A（B1B2），证毕。
到这里！
