对一道“投篮”物理题的研究补充

2022-07-10 22:51 作者:现代微积分 0人读过 | 我要投稿

这次水一篇专栏。这篇文章大部分还是依靠了计算机的辅助，所以本文章没有太多可学的知识，读们图一乐就好了。

文章灵感来源：BV1vU4y1Q71u

我又发现了一位具有探索精神的up主，实在令人敬佩。

下面是就当是我对原up主研究成果的“锦上添花”吧[doge]

原题：

下面我们来看第(2)题的研究

个人的求解的思路大致如下：

1、求出运动的球的方程，并求出其运动的包络面(即篮球可经过的空间区域)

2、找出包络面与y-O-x平面的交线，需满足交线在篮圈所在的圆内

3、分离变量，利用拉格朗日乘数法求得该曲线与圆相切的边界

如上图，建立空间直角坐标系

球心的初始位置坐标为(0.12,0,0.45),设初速度为v₀

则球心运动的坐标为：

$(0.12%2Bv_0t%2C0%2C0.45-5t%5E2)$

则球的方程为：

$%5Bx-(0.12%2Bv_0t)%5D%5E2%2By%5E2%2B%5Bz-(0.45-5t%5E2)%5D%5E2%3D0.12%5E2$

对参数t求偏导并令其=0

$2%5Bx-(0.12%2Bv_0t)%5D%5Ccdot%20(-v_0)%2B2%5Bz-(0.45-5t%5E2)%5D%5Ccdot%2010t%3D0$

整理得：

$50t%5E3%2B(v_0%5E2%2B10z-4.5)t%2B0.12v_0-v_0x%3D0$

这是个一元三次方程，利用卡尔丹公式(求根公式)求解：

$t%5E3%2B%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B50%7D%20t%2B%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B50%7D%20%3D0$

其中 $p%3D%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B50%7D%20%2Cq%3D%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B50%7D$

则 $t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%7D%20$

$%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D$

代入球方程消去参数t得包络面方程：

$%5Bx-(0.12%2Bv_0(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D))%5D%5E2$

$%2By%5E2%2B%5Bz-(0.45-5(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D)%5E2)%5D%5E2%3D0.12%5E2%20$

(可能由于式子过于复杂，ggb画不出图像，包络面大概就是像这种遮光滑滑梯的外表)

令z=0得相交曲线方程：

$%5Bx-(0.12%2Bv_0(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D))%5D%5E2$

$%2By%5E2%2B%5B-(0.45-5(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D)%5E2)%5D%5E2%3D0.12%5E2%20$

用作图软件作出该曲线的图像

其中红色的为上述包络面与x-O-y平面的交线，黑色的为篮筐所在圆：

$(x-0.375)%5E2%2By%5E2%3D0.225%5E2$

本想将曲线分离出参数v₀后采用拉格朗日乘数法求的，但由于式子太复杂，因此直接采用近似解

调整参数v₀使得曲线与圆相切

采用二分法求得近似解： $v_0%5Capprox%201.17(m%2Fs)$

ps:这里调整v₀观察图像在相离和相交之间“反复横跳”以缩小v₀调控的区间，因此类似求零点的二分法

下面再补充些原up主未完成的探索

其中法(1)进一步借助计算机是可以完成探索的(仅指目前我所掌握的“技术”(只会一点desmos和geogebra的功能)，没掌握的功能或其他作图软件应该能帮助完成所有)，法(5)得出答案还可有其他解法(详见下文的个人所想到的解法)

（1）尝试1：参数方程求解外侧边界线

up主成果为：写出了上边界曲线参数方程：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0Ax%3D0.12%2Bv_0t%2B%5Cfrac%7B1.2t%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%20%5C%5C%0Ay%3D0.45-5t%5E2%2B%5Cfrac%7B0.12v_0%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

(t≥0)

当该边界线恰好过点(0.6,0)时为最大边界

此时

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A0.12%2Bv_0t%2B%5Cfrac%7B1.2t%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%3D0.6%20%5C%5C%0A0.45-5t%5E2%2B%5Cfrac%7B0.12v_0%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%20%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

作出曲线图

调整参数v₀使得上边界线(图中为红线)过(0.6,0)

同样，采用二分法求得近似解为： $v_0%5Capprox%201.17(m%2Fs)$

(5)抛物线与圆相切

即抛物线 $y%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7Bv_0%5E2%7Dx%5E2%20$ 与圆 $(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20$ 相切

可化为求 $(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20$ 条件下 $v_0%5E2%3D-%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%7D%20$ 的极值

这里给出两种方法

法一：三角换元

令

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0Ax%3D0.12cos%5Ctheta%20%2B0.48%5C%5C%0Ay%3D0.12sin%5Ctheta%20-0.45%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

则 $-%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%7D%3D-5%5Ccdot%20%5Cfrac%7B(0.12cos%5Ctheta%20%2B0.48)%5E2%7D%7B0.12sin%5Ctheta%20-0.45%7D%20%20$

根据原意，取这个函数的极小值就是 $v_0%5E2$ 的最小值

这个函数求导后的隐零点比较复杂，这里就省略逼根的过程了

作出该函数的图像：

则 $v_0%5E2%5Capprox%201.373%2Cv_0%5Capprox%201.17$

法二：拉格朗日乘数法

设辅助函数 $L%3D-%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%7D%20%2Bm%5B(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2-%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20%5D$

令 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7B10x%7D%7By%7D%20%2Bm%5B2(x-0.48)%5D%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%5E2%7D%2Bm%5B2(y%2B0.45)%5D%3D0%20$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20m%7D%20%3D(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2-%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20%3D0$

联立消去乘子m得： $-m%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B10x%7D%7By%7D%20%7D%7B2(x-0.48)%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%5E2%7D%7D%7B2(y%2B0.45)%7D%20$

即 $-2y%5E2%2B0.9y%3Dx%5E2-0.48x$

联立： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20%5C%5C-2y%5E2%2B0.9y%3Dx%5E2-0.48x%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$