【数学基础Ep16】每天三道题(数学分析+解析几何+线性代数)
预备知识:
收敛数列{an}极限为a,则an=a+ɑn,其中{ɑn}为一个无穷小;
收敛数列必有界;
有限个无穷小的和还是无穷小;
有界数列乘以无穷小的积还是无穷小;
对三角形ABC,D为BC中点,则有AD=(AB+AC)/2。
参考资料:
《数学分析习题演练》(周民强 编著)
《空间解析几何》(高红铸 王敬蹇 傅若男 编著)
《高等代数习题集》(杨子胥 编)
数学分析——
例题(来自《数学分析习题演练(周民强 编著)》)——
设lim an=a,则
a.lim(a1+a2+……+an)/n=a
b.lim(a1+2a2+……+nan)/(1+2+……+n)=a.
证明:
a.
根据定义,lim an=a,即对任意小数ε>0,存在自然数N',当n>N',|an-a|<ε/2;
|(a1+a2+……+an)/n-a|
=|(a1-a)+(a2-a)+……+(an-a)|/n
<=|(a1-a)+(a2-a)+……+(aN'-a)|/n+|(aN'+1-a)+……+(an-a)|/n
<=(|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|)/n+(n-N')ε/2n;
对数列{(|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|)/n},存在N",n>N",(|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|)/n<ε/2,取N"=[(|a1-a|+|a2-a|+……+|aN'-a|)ε/2]+1即可;
令N=max{N',N"},当n>N时,|(a1+a2+……+an)/n-a|<ε,证毕。
b.
lim an=a,即对任意小数ε>0,存在自然数N',当n>N',|an-a|<ε/2;
令an=a+ɑn,其中{ɑn}为一个无穷小,即n>N',|ɑn|<ε/2
|(a1+2a2+……+nan)/(1+2+……+n)-a|
=|[(a+ɑ1)+2(a+ɑ1)+……+n(a+ɑn)]/(1+2+……+n)-a|
=|[(1+2+……+n)a+(ɑ1+2ɑ2+……+nɑn)]/(1+2+……+n)-a|
=|a+(ɑ1+2ɑ2+……+N'ɑN')/(1+2+……+n)+[(N'+1)ɑN'+1+……+nɑn]/(1+2+……+n)-a|
=|(ɑ1+2ɑ2+……+N'ɑN')/(1+2+……+n)+[(N'+1)ɑN'+1+……+nɑn]/(1+2+……+n)
令ɑ'=max{|ɑ1|,|ɑ2|,……,|ɑN'|},则(ɑ1+2ɑ2+……+N'ɑN')/(1+2+……+n)<=(1+2+……+N')ɑ'/(1+2+……+n)={[N'(1+N')/2]/[n(1+n)/2]}ɑ'={[N'(1+N')]/[n(1+n)]}ɑ';
由2:[(N'+1)ɑN'+1+……+nɑn]/(1+2+……+n)<[(N'+1)+……+n]ε/2(1+2+……+n)<ε/2;
对数列{{[N'(1+N')]/[n(1+n)]}ɑ'},存在N",当n>N",{[N'(1+N')]/[n(1+n)]}ɑ'2<ε/2,取N"=[[2N'ɑ'(1+N')/ε+1/4]^(1/2)-1/2]+1即可;
由4,5,6,当n>N=max{N',N"}时,|(a1+2a2+……+nan)/(1+2+……+n)-a|<ε,证毕。
解析几何——
例题(来自《空间解析几何(高红铸 王敬蹇 傅若男 编著)》)——
设A,B,C,D是一个四面体的顶点M,N分别是边AB,CD的中点。试证MN=(AD+BC)/2
证明——
M为AB中点,则DM=(DA+DB)/2;
N为CD中点,则DN=DC/2;
MN
=DN-DM
=DC/2-(DA+DB)/2
=(DC-DB+AD)/2
=(AD+BC)/2.
证毕。
高等代数——
例题(来自《高等代数习题集(杨子胥 编)》)——
设A,B为n阶方阵.证明:如果A+B=AB,则A-E可逆,并求其逆方阵。
证:因为A+B=AB,则(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E,即,A-E可逆,且(A-E)^(-1)=B-E.
到这里!