对根式相加为无理数的研究

（1）设，，则为无理数.

如果不严格证明，该命题是“显然”的，但我相信看这篇文章的朋友都希望得到一个严格的证明.

思路：反证法. 通过变形化为（其中）的形式，再由有理数运算封闭性得出矛盾.

证明：

假设，.

则

若，则，与矛盾.

故

而，，矛盾！

为无理数.

（2）设，，，则为无理数.

思路：与（1）类似.

证明：

假设，.

（将等式两边三次方）

若，

又，矛盾！

若，

令，

则

（否则，矛盾！）

又，

，

，即

以为主元，

则

这与矛盾.

综上，

遗憾的是，该方法虽然巧妙，但很难在次数和项数上做推广.

（3）将（2）作为引理，可得：

若，（，），则有因式.

证明：设， 

令

设，

则

若，

则

（否则，由有理数运算封闭性可知矛盾）

由（2）中的结论可知：

，

即

矛盾！

若中恰有一数为，

显然也有

矛盾！

注：称为的极小多项式.

事实上，证明（3）是我研究（2）的原因.

本文中的证明仅为个人方法，如有雷同，纯属巧合.

如果读者有更好的方法，或者发现问题，欢迎指出！