【银蛇出品】数学漫谈4——双曲函数的性质和一个相关的积分技巧

前置知识：一元函数微积分

        双曲函数是一类很重要的初等函数，尽管重要性稍逊于三角函数，可在许多数学问题和实际工程中都能见到它，其中最著名的莫过于悬链线问题了。双曲(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)函数可以用指数函数来定义

相应的反函数为

        先来看看双曲函数的一些性质，这些性质均可由定义出发得到，证明过程略去。

        性质1    复合关系

        性质2    平方恒等关系

据公式(4)中的第一个等式，我们可以发现这个形式与双曲线很相似。实际上，由此式可以说明，参数方程

恰可表示双曲线

的右支(x≥a)。参数t的几何意义是，由双曲线上某点(x,y)到(a,0)这段曲边、x轴、点(x,y)与原点(0,0)连线围成的曲边三角形面积的2倍，称之为双曲角。双曲函数这一名称由此而来。

        性质3    两角和差公式

        性质4    二倍角公式

        性质5    n倍角公式

提示：利用

结合数学归纳法可证。

        性质6    半角公式

提示：反向利用二倍角公式即得。

        性质7    和差化积、积化和差公式

        性质8    “万能”公式

提示：对于公式(11)后两个等式，可在左侧除以

        性质9    双曲函数与三角函数的关系

提示：利用欧拉公式

        性质10    导数公式

        联想到不定积分中第二类换元法中存在一类换元技巧，在遇到形如

的乘积项时，可作变换x=asint。类似地，当我们遇到形如

的乘积项时，可依据tan²x+1=sec²x，分别做变换x=atant和x=asect。实际上，我们也可以从公式(4)出发，分别作变换x=asinht和x=acosht。有时作后一种变换解决问题更快捷。

例1    计算不定积分

解    ①

        ②

        这个例子中，后一种变换的优势不够明显(其实计算sect的原函数还是比较麻烦的)，再看下例。

例2    计算积分

解    ①

这个积分不太好做。下面先证明一个引理

        由分部积分法

得

        移项，引理得证。

        于是

        又

        从而

        ②

        两种做法的复杂程度高下立判。

        总而言之，在进行积分计算时，如果遇到形如公式(16)的乘积项时就可以考虑用双曲函数做变换。