Phase Transition2
本文讨论Bernoulli percolation研究的toolbox里边的三种技术，分别为
Increasing coupling
FKG不等式
BK不等式
Increasing Coupling
耦合技术是测度论里边经常用的一个技术。我们接下来会用它证明\theta(p)的递增性。我们会发现这个技术出乎意料地好用。
所谓的耦合，就是把两个随机变量（或者概率测度）X,Y耦合构建出一个大的概率测度(X,Y)，其边缘分布仍然和原来相同，但是当然联合分布不是唯一的，我们希望让这个联合分布满足一些特别的性质，之后就可以榨出结论来。
首先，percolation作为一个特殊的概率模型，当然有一些特殊的结构。我们不能完全把它当成最一般的概率空间来研究。那么这个特殊的结构就是“单调性”，具体来说是「随连通性」的单调性。
根据一个构型比另一个构型更加连通（凡事后者open的边，前者都open；后者closed的边，前者可能变成open）这个关系，可以在所有构型上定义出一个偏序（记为<）。随着这个“连通性”，就有一些“单调性”。一个构型的函数，如果随着构型变得连通而变大，则称为递增函数。一个事件，如果随着构型变得连通而变得倾向于成立（即，对于一个构型成立，则对于更连通的构型也成立），则称为递增事件。
递增事件是percolation研究中最重要的一类特殊事件。它包括以下这些重要的事件：
x和y连通；
0所在的cluster无穷大；
一个子图里的open edge数目超过k；
...
好了，我们现在有了percolation的特殊结构（单调性），我们就尝试从中榨出一般的概率空间所不具有的特殊性质。
前面说了，我们想证明\theta(p)的单调性，也就是说想要比较p<p'这两个参数的区别。既然说了耦合技术，那我们就试试把P_p和P_p'这两个概率测度耦合在一起呗。把耦合起来的大概率测度叫做𝓟。怎么构造这个𝓟呢？有一个很简单的方法：
在Z^d的每条边上赋予独立的Unif(0,1)，然后生成两张图：
omega_p，小于p的赋予open，大于p的赋予closed；
omega_p'，小于p'的赋予open，大于p'的赋予closed；
于是有(omega_p,omega_p')的联合测度。这个联合分布的边缘分布显然就是P_p与P_p'，而联合分布满足每个omega_p'都比omega_p连通（有一个特殊的联合分布）。
接下来，对于一个递增事件A，我们发现
这样递增性就证完了！（因为0所在cluster无穷大是递增事件）
这个结论其实更广泛：所有递增事件，参数p越大，发生概率越大。理所应当。
话说同样的技术可以用来证明以前概率论期末考试的压轴题：n*n格点上的Bernoulli渗流，证明上边与下边能够相连的概率f(p)随p单调递增。证明方法是完全一样的，上边与下边能够相连这个事件也是increasing的，做一个完全一样的耦合就可以了。当时我还打算写出这个概率的表达式来证明递增性，这样会非常复杂。而用耦合技术则可以极其简短地给出证明，甚至简单到让人觉得还没开始就结束了。
最后一个Remark。我们现在已经对\theta(p)这个“相变函数”看得越来越清楚了。我们已经严格证明了它是单调递增的，并且先在一段上为0，在某个点之后在上升一直到1。接下来想做的事情就是把这个函数看得越来越清楚，比如相变点到底是哪个点？那是很久以后的事。
FKG不等式
FKG不等式说的是很直观的一件事：所有递增事件都是positively correlated的！
怎么理解呢？假设A是一个递增事件，比如说x和y连通。它发生，至少表明这个configuration的（至少某个部分）的连通性比较好，于是条件在A上，任何一个递增事件B的概率至少也是不变，如果变了那一定是增大。
数学语言来写就是：
它其实可以推广到下面的形式：对于两个有界递增函数f，g，
FKG不等式的证明很简单。首先用数学归纳法证明有限图的不等式，然后用鞅收敛定义推出Z^d的不等式。有限图的归纳是这样完成的（我们姑且不去管收敛是怎么一回事）。
如果f和g只依赖于一条边。那不等式显然成立。
如果对1,2,...,n-1都成立，对于n只需要做条件概率之后用两次归纳假设即可。
最后一提，FKG不等式对decreasing事件也成立，证明是直截了当的。
BK不等式
BK不等式相当于FKG不等式的“反向”。但是肯定不能直接反向，不然就变成等号了。所以我们需要缩小事件，不仅是A和B同时发生，还要求发生在不同地方。这个事件记为A○B。这样不等号就反过来了：
但是这个不等式的条件不再需要increasing，不过A和B都必须是定义在有限边上的事件。
前面有些地方说得挺含糊。下面说清楚点：
什么叫“发生在不同地方”？一个事件A，其中包括一个configuration omega，这个omega中包含一个子部分I叫做witness，如果其它符合这个witness也满足A事件。这个说法很抽象，举个例子就知道了：事件A是(0,0)和(0,5)连通，其中一个omega是直接横着的四条线连起来，那横着的四条线就是witness，其它omega如果包含了这四条线，则也能保证(0,0)和(0,5)连通。也就是说，witness是“局部地刻画了一个事件”。
如果一个omega，A和B同时发生，并且有着disjoint的witness，则称为二者发生在不同地方，记为A○B。
BK不等式在ABdisjoint的时候是平凡的（取等），在AB相交的时候才不平凡。
BK不等式还可以写成这种形式：
它的含义很明显：如果B发生了，就占用了一点A发生的地方，A想要在不同的地方发生，概率就小了一点。
BK不等式的证明很繁琐，略去。
BK不等式是一个很强的不等式，有时候显得过于强以至于很快完成论证。下面是一个例子，在统计力学中称为Simon-Lieb不等式。
想法是这样的。我们考察0与x相连的概率。在0周围画一个（有限大的）圈S，把0和x分隔开来。0和x要相连，必然要经过∂S。我们想要以此整出一个类似全概率公式的东西。
怎么搞呢？0与x相连，则必然存在一条self-avoiding path连接二者，这条路径第一次经过∂S的地方叫做y。于是：
{0与x相连} 含于 对y取并集{0与y在S内相连，y与x相连，且这两段不相交} = 对y取并集{0与y在S内相连}○{y与x相连}
从而：
P(0与x相连)<=\sum_{y\in ∂S}P({0与y在S内相连}○{y与x相连})
但是这右边没法用BK不等式，因为{y与x相连}这个事件不是限制在有限地域内的事件。那么就采用概率论里常用的技巧，把它先限制在[-n,n]^d上面，用BK不等式，再把n趋于无穷大即可。最终的结论就是这么一个全概率公式形式的东西：
