A-0-6矢量运算(1/2)

2023-08-27 15:48 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

0.6.1 矢量的表示

物理中的矢量对应数学中的向量，唯一的区别就是作为物理量的矢量带有单位，其他定义包括运算法则基本相同，以下不做特别的区分。

几何表示

拿位移举例，如下图，我们可以用一条从 $A$ 指向 $B$ 的有向线段表示矢量，也可以用 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 、 $%5Cvec%7Bx%7D$ 表示，另外，在印刷体中，可以用粗体 $%5Cboldsymbol%20x$ 表示矢量。

代数表示

引入坐标系之后，我们可以用坐标表示矢量，比如上图中，可以用 $(2m%2C1m)$ 表示 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 矢量。

矢量大小与单位矢量

数学上把向量的大小称为向量的模，用 $%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%7C$ 表示，矢量与之相比需要加上单位。模长为1的向量称为单位向量，物理上表示单位矢量的符号很多，比如沿 $x$ 方向位移的单位矢量，可以表示为 $%5Cvec%20e_x$ ， $%5Chat%7Be_x%7D$ ， $%5Chat%20i$ ， $%5Cvec%20i$ ， $%5Chat%20x$ ， $%5Cdfrac%7B%5Cvec%20x%7D%7B%7C%5Cvec%20x%7C%7D$ 等等。

矢量的夹角

当两个矢量 $%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b$ 起点重合时，它们之间的夹角称为为两矢量的夹角 $(%5Cle180%C2%B0)$ ，可以用符号 $%5Clangle%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b%5Crangle$ 表示。

0.6.2 矢量的加减

几何描述

矢量的加减法则同样可以由位移引入：

如图，物体先从 $A$ 走向 $B$ ，再从 $B$ 走向 $C$ ，两段位移的和为从 $A$ 直接指向 $C$ .

即

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

此即矢量加法的三角形法则，运用三角形法则时，我们需要将第2个矢量的起点和第1个向量的终点重合。

如果我们平移矢量 $%5Coverrightarrow%7BBC%7D$ ，使其起点与点 $A$ 重合，此时矢量和依然是 $%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ ，即有

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Coverrightarrow%7BAD%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

此时 $%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ 是以 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%EF%BC%8C%5Coverrightarrow%7BAD%7D$ 为边的平行四边形的对角线。此即矢量加法的平行四边形法则，运用平行四边形法则时，两个矢量的起点需要重合。

在计算矢量的减法时，可以将减法转化为加法

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D-%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B(-%5Coverrightarrow%7BBC%7D)$

其中 $-%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BCB%7D$ ，此时计算加法时，我们需要将 $-%5Coverrightarrow%7BBC%7D$ 平移一下，比如平移到 $%5Coverrightarrow%7BEA%7D$ ，则有

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D-%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D-%5Coverrightarrow%7BAE%7D%3D%5Coverrightarrow%7BEB%7D$

由上面的计算我们可以发现，通过适当的平移，利用三角形法则计算矢量的加减法更加方便。

坐标描述

上面3个矢量的坐标表示分别为

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D(2m%2C1m)%2C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D(2m%2C-3m)%2C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%3D(4m%2C-2m)$

由此不难推得矢量加减法的坐标表示：

$(x_1%2Cy_1)%5Cpm(x_2%2Cy_2)%3D(x_1%5Cpm%20x_2%2Cy_1%5Cpm%20y_2)$

需要注意的是，在物理中，只有单位相同的矢量才可以进行加减运算。

0.6.3 矢量的乘法

数乘

几何描述

顾名思义，就是将一个矢量和常数 $%5Calpha$ 相乘，如图

$%5Coverrightarrow%7BAC%7D%3D%5Calpha%5Coverrightarrow%7BAB%7D$

矢量在进行数乘时，所在直线的方向不变。由此可知，所有的矢量都可以写成 $%5Cvec%20a%3Da%5Chat%20a$ 的形式，即矢量大小乘以单位向量。

坐标描述

令 $%5Cvec%20a%3D(x%2Cy)$ .容易推得 $%5Calpha(x%2Cy)%3D(%5Calpha%20x%2C%5Calpha%20y)$ .

点乘

用点号” $%5Ccdot$ “表示的乘法。矢量点乘的结果又称为“内积”、“数量积”。

计算法则：

$%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b%3D%7C%5Cvec%20a%7C%5Ccdot%7C%5Cvec%20b%7C%5Ccdot%5Ccos%5Clangle%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b%5Crangle$

可以看出，矢量点乘的结果是标量，当两矢量垂直时，对应数量积为0.

物理意义：

点乘对应的物理情景是力的做功。

做功的定义是：如果物体受到力 $%5Cvec%20F$ 的作用，移动了位移 $%5Cvec%20x$ 。那么力乘以物体沿着力的方向移动的距离就等于力的做功。该距离在图中为 $AD%3DAC%5Ccos%5Ctheta$ ，则做功

$W%3DFx%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cvec%20F%5Cvec%20x$

（在不引起歧义时，点号可以省去）。

坐标描述：

令 $%5Cvec%20a%3D(x_1%2Cy_1)%EF%BC%8C%5Cvec%20b%3D(x_2%2Cy_2)$

则

$%5Cvec%20a%5Ccdot%20%5Cvec%20b%3D(x_1%5Cvec%20i%2By_1%5Cvec%20j)(x_2%5Cvec%20i%2By_2%5Cvec%20j)$

$%3Dx_1x_2%5Cvec%20i%5E2%2By_1y_2%5Cvec%20j%5E2%2B(x_1y_2%2Bx_2y_1)%5Cvec%20i%5Ccdot%5Cvec%20j$

其中 $%5Cvec%20i%5E2%3D%5Cvec%20j%5E2%3D1$ ， $%5Cvec%20i$ 和 $%5Cvec%20j$ 垂直， $%5Cvec%20i%5Ccdot%5Cvec%20j%3D0$ ，得

$(x_1%2Cy_1)%5Ccdot(x_2%2Cy_2)%3Dx_1x_2%2By_1y_2$

运算律

不难证明，矢量点乘满足交换律和分配律：

$%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b%3D%5Cvec%20b%5Ccdot%5Cvec%20a$

$%5Cvec%20a%5Ccdot(%5Cvec%20b%2B%5Cvec%20c)%3D%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b%2B%5Cvec%20a%5Ccdot%20%5Cvec%20c$

不满足结合律。

叉乘

用叉号” $%5Ctimes$ “表示的乘法。矢量叉乘的结果又称为“外积”、“矢积”。

计算法则

$%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b%20%3D%7C%5Cvec%20a%7C%5Ccdot%20%7C%5Cvec%20b%7C%5Ccdot%20%5Csin%20%5Clangle%20%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b%5Crangle%20%5Ccdot%20%5Cvec%20e_k$

其中单位向量 $%5Cvec%20e_k%20$ 与 $%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b$ 所在的平面垂直，方向满足右手定则：

右手大拇指沿着 $%5Cvec%20e_k$ 方向时，四指环绕方向从 $%5Cvec%20a$ 到 $%5Cvec%20b$ .

不难看出，其模长 $%7C%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b%7C$ 表示以 $%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b$ 为边的平行四边形的面积。

物理意义：

叉乘对应的物理情景是力矩。

在转动中，定义物体所受某个力大小为 $%5Cvec%20F$ ，力的作用点对应的矢径为 $%5Cvec%20r$ ，则有力矩 $%5Coverrightarrow%20M%3D%5Cvec%20r%5Ctimes%20%5Cvec%20F$ ，三者关系如图

$%5Cleft%7C%7B%5Coverrightarrow%20M%7D%5Cright%7C%3DrF%5Csin(%5Cpi-%5Calpha)%3DF(r%5Csin%5Calpha)$

其中 $r%5Csin%5Calpha$ 即为初中介绍的力臂。

右手系

像上面满足右手定则的空间直角坐标系称为右手系，右手系还可以这样来描述：我们伸出右手，大拇指，食指和中指两两垂直，则大拇指代表 $x$ 轴，食指表示 $y$ 轴，中指表示 $z$ 轴。右手系满足刚刚的右手定则。即：若 $%5Cvec%20i%2C%5Cvec%20j%2C%5Cvec%20k$ 分别为空间直角坐标系中 $x%2Cy%2Cz$ 轴上的单位向量，有

$%5Cbegin%7Bcases%7D%7B%7D%20%5Cvec%20i%5Ctimes%20%5Cvec%20j%20%3D%20%5Cvec%20k%5C%5C%20%5Cvec%20j%20%5Ctimes%20%5Cvec%20k%20%3D%20%5Cvec%20i%20%5C%5C%20%5Cvec%20k%20%5Ctimes%20%5Cvec%20i%20%3D%20%5Cvec%20j%20%5Cend%7Bcases%7D$

上图中的坐标系就是一个右手系。红色为x轴，绿色为y轴，蓝色为z轴。

坐标描述

我们定义二阶行列式

$%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20a%20%26%20b%20%5C%5Cc%20%26%20d%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3Dad-bc$

若

$%5Cvec%20a%3D(x_1%2Cy_1%2Cz_1)%EF%BC%8C%5Cvec%20b%3D(x_2%2Cy_2%2Cz_2)$

有

$%5Cvec%20a%5Ctimes%5Cvec%20b%20%3D%20%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%5Cvec%20i%20%26%20%5Cvec%20j%20%26%20%5Cvec%20k%20%5C%5Cx_1%20%26%20y_1%20%26%20z_1%5C%5Cx_2%20%26%20y_2%20%26%20z_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C$
$%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Dy_1%20%26%20z_1%20%5C%5Cy_2%20%26%20z_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%5Cvec%20i%20%2B%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Dz_1%20%26%20x_1%20%5C%5Cz_2%20%26%20x_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%5Cvec%20j%20%2B%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Dx_1%20%26%20y_1%20%5C%5Cx_2%20%26%20y_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%5Cvec%20k$
$%3D%20(y_1z_2-%20y_2z_1)%5Cvec%20i%20%2B%20(z_1x_2%20-%20z_2x_1)%20%5Cvec%20j%20%2B%20(x_1%20y_2%20-%20x_2%20y_1%20)%5Cvec%20k$

关于行列式的更多内容，可以参考《线性代数》.

运算律

不难证明，矢量叉乘满足分配律和反交换律：

$%5Cvec%20a%5Ctimes%20(%5Cvec%20b%20%2B%5Cvec%20c)%3D%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20c%2B%5Cvec%20b%5Ctimes%20%5Cvec%20c%0A%0A%5Cvec%20a%5Ctimes%5Cvec%20b%3D-%5Cvec%20b%5Ctimes%5Cvec%20a$

不满足结合律。

其他运算

拉格朗日公式：

$(%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b)%20%5Ctimes%20%5Cvec%20c%3D%5Cvec%20b(%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20c)-%5Cvec%20a(%5Cvec%20b%5Ccdot%5Cvec%20c)$
$%5Cvec%20a%5Ctimes%20(%5Cvec%20b%20%5Ctimes%20%5Cvec%20c)%3D%5Cvec%20b(%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20c)-%5Cvec%20c(%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b)$

混合积

$%5Cvec%20a%20%5Ccdot%20(%5Cvec%20b%5Ctimes%20%5Cvec%20c)%20%3D%20%5Cvec%20b%20%5Ccdot%20(%5Cvec%20c%5Ctimes%20%5Cvec%20a)%20%3D%20%5Cvec%20c%20%5Ccdot%20(%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b)$

标签：高中物理竞赛

A-0-6矢量运算(1/2)

0.6.1 矢量的表示

0.6.2 矢量的加减

0.6.3 矢量的乘法

数乘

点乘

叉乘

其他运算