复习笔记Day114：概率论知识总结(六)

2023-03-05 01:47 作者:间宫_卓司 0人读过 | 我要投稿

这个天数好像是梗小鬼很喜欢的数字

第八章特征函数

§8.1 特征函数

定义8.1.1 设 $%5Cxi$ 是 $d$ 维随机变量， $F$ 是 $%5Cxi$ 的分布函数，那么复值函数

$%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3A%3D%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Ccdot%20y%7D%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%7D%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7Bix%5Ccdot%20%5Cxi%7D%2Cx%5Cin%20%5Cmathbf%7BR%7D%5Ed$

被称为分布函数 $F$ 的特征函数，实际上也就是对分布函数做了傅里叶变换

引理8.1.1 介绍了一些分布函数的性质，不过就(6)看起来比较重要：设 $F$ 是随机变量 $%5Cxi$ 的分布函数，如果 $%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft%7C%20%5Cxi%20%5Cright%7C%5En%3C%5Cinfty%20$ ，那么 $%5Chat%7BF%7D$ 在 $0$ 处 $n$ 次可导，且此时有 $%5Cmathrm%7Bi%7D%5En%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5En%3D%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%20n%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20$

§8.2 唯一性定理

定理8.2.1 (反演公式)设 $%5Cxi$ 是随机变量， $a%3Cb$ ， $F$ 是 $%5Cxi$ 的分布函数， $a%2Cb$ 是 $F$ 的连续点，那么有反演公式

$F%5Cleft(%20b%20%5Cright)%20-F%5Cleft(%20a%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cunderset%7BT%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cint_%7B-T%7D%5ET%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7Dax%7D-e%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7Dbx%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%7D%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$

如果 $%5Chat%7BF%7D$ 绝对可积，那么 $F$ 绝对连续且 $F'%5Cleft(%20y%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dxy%7D%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D$

通过这个公式，可以由特征函数来确定分布函数，所以如果知道了特征函数，对应的分布函数也是唯一的

定理8.2.2 随机变量 $%5Cxi%20_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n$ 相互独立当且仅当 $%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Ccdot%20%5Cxi%7D%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx_k%5Cxi%20_k%7D%7D$ ，其中 $%5Cxi%20%3D%5Cleft(%20%5Cxi%20_1%2C%5Ccdots%20%2C%5Cxi%20_n%20%5Cright)%20$

课本好像默认了 $d$ 维的唯一性，如果承认这个的话，对 $%5Cxi$ 和 $%5Cxi_k$ 都求一下特征函数就可以证明了

§8.3 连续性定理

定理8.3.1 设 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 是分布函数列，若 $%5Chat%7BF%7D$ 点点收敛于一个在零点连续的函数 $%5Cvarphi$ ，则 $%5Cvarphi$ 是一个分布函数 $F$ 的特征函数且 $F_n%5Cxrightarrow%7Bw%7DF$

这个定理的证明我看的比较懵，完全不知道是怎么想到的。有了这个定理，可以通过特征函数的逐点收敛来判断分布函数的弱收敛

第九章中心极限定理

§9.1 DeMoivre-Laplace的估计

老东西的估计方法早就过时辣

§9.2 独立同分布场合的中心极限定理

定义9.2.1 称平方可积的随机序列 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 满足中心极限定理，如果

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cleft(%20%5Cxi%20_i-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20_i%20%5Cright)%7D%7D%7B%5Csqrt%7BD%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_i%7D%7D%7D%5Cle%20x%20%5Cright)%20%3D%5CPhi%20%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$

定理9.2.1 ( $%5Ctext%7BLevy-Lindeberg%7D$ )设 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是平方可积的独立同分布的标准话随机变量列，则 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D$ 的分布弱收敛于标准正态分布，即

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_i%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Cle%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Ex%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dt%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D$

作为这个系列的最后一个定理（暂定），我就完整的写一下证明吧！

证明的思路是通过估计 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D$ 的特征函数，证明其收敛于正态分布的概率密度函数

首先来计算一下 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D$ 的特征函数，因为 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 是独立的，所以根据引理8.1.1的性质(4)（懒得打了），其特征函数为

$%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D%7D%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cmathbb%7BE%7D%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Cfrac%7B%5Cxi%20_k%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7D%7D%3D%5Cleft(%20%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7Dx%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%7D%20%5Cright)%20%5En%3D%5Cleft(%20%5Cint_%7B%5Cmathbf%7BR%7D%7D%5E%7B%7D%7Be%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7Dy%7D%5Cmathrm%7Bd%7DF%5Cleft(%20y%20%5Cright)%7D%20%5Cright)%20%5En%3D%5Cleft(%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5En$

其中 $F$ 为 $%5Cxi_k$ 的分布函数， $%5Chat%7BF%7D$ 为特征函数，再根据引理8.1.1的性质(6)，有

$%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%200%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%201%3D1%2C%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%201%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%3D0%2C%5Chat%7BF%7D%5E%7B%5Cleft(%202%20%5Cright)%7D%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D-%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cxi%20%5E2%3D-1$

所以 $%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bo%5Cleft(%20x%5E2%20%5Cright)%20%2Cx%5Crightarrow%200$

另一方面

$%5Cleft%7C%20a%5En-b%5En%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20a-b%20%5Cright)%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%7Ba%5E%7Bn-i-1%7Db%5Ei%7D%20%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%20a-b%20%5Cright%7C%5Cleft%7C%20%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%7Ba%5E%7Bn-i-1%7Db%5Ei%7D%20%5Cright%7C%5Cle%20n%5Cleft%7C%20a-b%20%5Cright%7C$

于是

$%5Cleft%7C%20%5Cleft(%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5En-%5Cleft(%201-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2n%7D%20%5Cright)%20%5En%20%5Cright%7C%5Cle%20n%5Cleft%7C%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20-1-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2n%7D%20%5Cright%7C%3Dno%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%20%3Do%5Cleft(%201%20%5Cright)%20$

这意味着

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%20%5Chat%7BF%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Cright)%20%5Cright)%20%5En%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cleft(%201-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2n%7D%20%5Cright)%20%5En%3De%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D$

接下来用反演公式计算可知特征函数 $e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D$ 的概率密度函数正是它自身，这就证明了定理

§9.3 一般中心极限定理

太复杂了，我这样的笨蛋看不懂啦！

最后写一道习题作为这个系列的终结（暂定）吧

114.1 用中心极限定理证明

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7De%5E%7B-n%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

看到这个式子很容易想到 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布，而 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布是具有可加性的，即若 $%5Cxi_1%2C%5Cxi_2$ 独立且服从参数为 $%5Clambda_1%2C%5Clambda_2$ 的 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布的随机变量，那么 $%5Cxi_1%2B%5Cxi_2$ 是服从参数为 $%5Clambda_1%2B%5Clambda_2$ 的 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布的随机变量

那么取 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cxi%20_n%20%5Cright%5C%7D%20$ 为独立且服从参数为 $1$ 的 $%5Ctext%7BPoisson%7D$ 分布的随机变量，那么

$%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D%5Cle%20n%20%5Cright)%20%3De%5E%7B-n%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%7D$

另一方面，依中心极限定理，

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cxi%20_k%7D%5Cle%20n%20%5Cright)%20%3D%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cmathbb%7BP%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7B%5Cleft(%20%5Cxi%20_k-1%20%5Cright)%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%5Cle%200%20%5Cright)%20%3D%5CPhi%20%5Cleft(%200%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$

这就证明了

$%5Cunderset%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7De%5E%7B-n%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%7B%5Cfrac%7Bn%5Ek%7D%7Bk!%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D$

标签：考研概率论数学分析

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第八章特征函数

第九章中心极限定理