【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep96】函数极限例题（五）

这几次都是书上的例题，这次的题目对之前数列极限一个结论的推广，结论要记住，以后会反复用到——

54例题

g.一个重要极限：lim sin x/x=1，x趋向于0时

后面证明了泰勒公式，这个可以直接泰勒展开一步搞定，现在用几何法：取单位圆O，取两条半径OA，OB做三角形OAB，过A点做OA的垂线OC与OB延长线交于D点，得到新的三角形OAD，∠AOB=x（0<x<π/2）——

1. 由面积易得：S三角形OAB<S扇形OAB<S三角形OAD，即OA*OBsin x<OAx<OB*OAtan x；

2. 对单位圆OA=OB=1，即得sin x<x<tan x；

3. 简单变形：1/sin x>1/x>cos x/sin x，1>sin x/x>cos x，0<1-sin x/x<1-cos x；

4. 1-cos x=2sin^2（x/2）<2sin（x/2）<x；

5. 0<1-sin x/x<x，则0<x<π/2，lim（sin x/x）=1，x趋向于0时；

6. π/2<x<0时，1-sin x/x=1-[-sin（-x）]/[-（-x）]=1-sin（-x）/（-x）<-x=|x|，则lim（sin x/x）=1，x趋向于0时；

7. 复述定义：lim（sin x/x）=1，x趋向于0时，即对于任意小数ε>0，存在δ>0，当0<|x|<δ时，|sin x/x-1|<ε；

8. 由5,6：|sin x/x-1|<|x|<π/2，所以取定δ=min{ε，π/2}即可。

习题——

求数列极限lim cos ψ/2*cos ψ/2^2*……*cos ψ/2^n

解——

1. lim cos ψ/2*cos ψ/2^2*……*cos ψ/2^n

   =lim（1/sin ψ/2^n）lim cos ψ/2*cos ψ/2^2*……*cos ψ/2^n*sin ψ/2^n

   =lim（1/sin ψ/2^n）lim cos ψ/2*cos ψ/2^2*……*cos ψ/2^（n-1）*sin ψ/2^（n-1）*（1/2）

   =lim（1/sin ψ/2^n）lim sin ψ*（1/2）^n

   =lim ψ/2^n /sin ψ/2^n lim sin ψ/ψ

   =sin ψ/ψ

到这里！