当代数学哲学导论（1）：从自然数开始

在开始这节之前，我们首先要认识到这样一个事实。自然数是人们认识到的第一个数学对象，它是数学的两大起源之一（另一个是土地测量学），它们分别对应着数学的两大开端：代数和几何。土地测量学实际上诞生于古埃及，主要是因为尼罗河每年都会泛滥，将每家每户的土地淹没一次，使得每家人每年都要重新划分土地。这使得测量土地成为一个必要的工作。

与土地测量学不同，自然数可以说是每一个文明都会认识的事务。只要一个文明想要发展，他们就不得不去描述一类事物的多少。这里有一匹马，两座山，很难想象没有这些描述，如何才能诞生一个文明。我们甚至可以认为，自然数是语言系统的一个系统。根据统计，目前世界存在的五千多种语言之中，几乎所有语言都有着自然数的表述。

在巴西的亚马逊有一种土著语言没有自然数。他们的语言只有类似于“1，2，3，4”和“很多”的表述。也就是说，你只能对他们说我今天吃了一个、两个、三个、四个或者很多个馒头。至于很多个是多少？不知道。在他们看来五个和两百个也许是一样的。

为什么会有这种语言呢？个人认为，这是因为这种语言（或者说文明）尚未进化为一个成熟的现代文明的标志。毕竟人们不可能去描述不存在的东西。他们应该没有词汇去描述汽车、飞机或者是马这样的东西，也因此没有词汇去描述大于等于四的数，因为他们没有什么东西是必须用大于四的词汇去精确描述的。摘了五个苹果还是八个差别并不大，反正差不多都能在两天吃完。

顺便一提，这种现象在某些古语言里面是有所体现的。我们读中文古诗词经常看到“三”指虚数，不是指真的只有三个。这也从侧面映证了上述现象。当然我们不是在研究语言学。我们下面回到数学。

如果我们承认上述假设，那么我们就会承认这样一个观点：任何一个进化完全的语言都会有一个自然数系统（我们再次提醒，土地测量学是有着很特殊的背景的，并不是每一个文明都会需要这个东西）。这也不难理解为什么自然数会成为世界数学的开端，几乎每个文明都在不约而同地研究它。同时，也请记住这个观点，我们会在后面再次回到这里。

自然数系统是如何在语言系统中发挥作用的呢？实际上它体现的是语言的某种简化思想。我们在谈论自然数时，只会概括一类事物的数量特征。例如两只兔子，我们忽略了兔子的性别、毛发颜色或者什么其它特征，这只是一种抽象的表示。

其实自然数并没有什么值得研究的地方。值得研究的是自然数在上面配属了一个运算：加法。我们现在当然对加法习以为常，但是在文明的早期，我认为回答5+8等于多少可能还是有一些难度的。当然为了解决某种意义上的多重加法，又引入了乘法。对自然数的研究转为对算学的研究。

但是上面的研究本质上都只是自然数系统的自娱自乐，你随手写下的一些算式可能并没有什么意义。真正让自然数大放异彩的是几何的研究。因为自然数系统是自然嵌进语言系统的，每一个熟练掌握某一种语言的人对自然数都不会有什么感到困难的地方。321+123可能确实有一些难算，但是只要我有耐心掰着手指一个一个数，总是可以数出来的。这并没有什么困难的地方。但是几何就不同了。几何学并不是自然嵌进语言系统的，一个熟练掌握语言的人并不一定会勾股定理。

继古埃及的测地学之后，古希腊的数学得到了充分的发展。人们对于面积的测量、线段长度有了一个定量的描述。它对几何学的促进我们暂且不谈，它对代数学有着极大的促进，一方面它促使有理数的出现，人们意识到两个数的比是有意义的；另一方面它加大了人们对自然数的崇拜。人们意识到自然数是重要的，甚至提出了万物皆数这样的观点。

在自然数得到飞速发展的同时，人们再一次对自然数的观念进行了反思。柏拉图认为世界分为现实世界和理念世界，数和图形是永存于理念世界不变的东西。他认为必须通过研究数来认识现实世界，他甚至认为，认识不到数学重要性的人“像猪一样”。

柏拉图的这种观点倒是流传了很久，哪怕是今天，很多小学或者中学同学也会有这种观点。大家普遍认为研究数学就是在研究世界。当然我们现在知道这不对，但是当数学家沉迷于自己的思维创造时，就会产生这种感情。当发现某个定理时，数学家会认为发现了自然界的一个规律；在引入一个概念时，数学家会认为是发现了一种本就存在于自然界的神秘物质。仿佛数学家不是在研究某些抽象概念，而是引入了某些客观真理。

为什么柏拉图会产生这样的想法呢？原因可能有两个。一方面是数学家献身于科学的热情。另一方面是数学具有高度的客观性，一个数学事实总是一定的。x^2+1=0在实数域中没有根，哪怕是拿着枪抵着我，事情也是这样的。这也就给很多人一种感觉，数学是另一种客观存在。

柏拉图的观念影响深远，哪怕是现代的很多大数学家也是这么认为的。康托就认为，数学概念是独立于人类思维活动的客观存在。

中世纪时，出现了一种唯名论的观点（用高中政治书的观点，又可以叫做机械唯物主义，但是这个名称本身就有一点歧视的含义，所以我们用比较中立的名称）。唯名论完全否认柏拉图的观点。它认为只有客观世界。至于理念世界？没听说过。

在这种观点中，数只是一个符号，一个名称，只要你能想到它或者写出来，它就存在，就是正确的。唯名论最大的优势就是解释为什么1+1=2。显而易见，因为大家都这么认为，因为一个苹果加一个苹果的确就是两个苹果，所以1+1=2，没有什么好证的东西。

唯名论的主要缺点是过度强调具体。现代的1，中文的一，大写的壹，古罗马的Ⅰ，是不是一个东西呢？按唯名论的观点来看就不是，因为它们不是一个符号。但是1个苹果、一个苹果、壹个苹果和Ⅰ个苹果，那又是一个东西了，因为它们的确指的都是放在我桌子上的那个可以吃的玩意儿。

这种奇怪的主张可以造出越来越多地奇怪观点，所以后来就被逐渐抛弃了。

进入近代后，康德对上述主张进行了一些改造，提出了新的观点。康德强调直觉（当然并不是直觉主义，我们后面会看到什么是真正的直觉主义），他认为这本就是一种先天直观，我们能够对数学进行一种朴素的感觉。1+1=2这种规律，是人依靠先天的洞察力肯定其正确性的。我们从直观上肯定了它的正确性，那么它就应该是正确的。

我们再举一个例子。人们对上下有着明显的感觉，其根本原因是重力恒定指向向下，在成长过程中，人们习惯了重力指向为下这一观点，从而形成了这个认识。同理，通过面背的区分人们认清了前后，通过惯用手的区分认清了左右（当然有的人可能认知是反过来的）。那么我们当然可以通过一个苹果加一个苹果是两个苹果认清1+1=2。

到这里为止，光靠哲学的争论已经不足以推动自然数的哲学理论了。进一步推动数学哲学需要依赖于其它理论的发展。我们在下一篇文章再来讨论。