【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep3】对Ep2中“戴德金分划”的一点补充(上)

铛铛铛铛,又到了每天老碧最喜欢的环节了!数学书阅读部分。开心呢!
有持续关注老碧b站动(装)态(逼)的宝宝们,一定知道,老碧上一篇【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep2】存在若干小bug。对于数学基础好的宝宝们,顺着读下来也不会觉得有什么大的问题,但是如果是出于好奇来看这个系列文章的宝宝们,可能会产生一些理解性的困惑。所以老碧这一期开始,对上一期的内容,做一点补充与校正。
Debug1:
上期聊到戴德金分划:

上次老碧也给出了阐释:“这个定义等于是说,拦腰切一刀,把有理数分为两段。两段没有公共元素,然而两段拼在一起就是有理数集,与此同时,从两段各任取一个数,其中一段取出的数永远比另一段取的数小。数大的那一组叫上组,数小的那一组叫下组。也因此,那一刀位置就有讲究了。书中列举了,三种可能性。”
分别是:
上组有最小数,下组无最大数;
上组无最小数,下组有最大数;
上组下组都无最值。
这里开始老碧就犯了一个逻辑上的问题了:我们很容易发现,“分划”的分类方式很类似于排列数。排列组合的内容高中学过,为了防止有些宝宝记性不好,老碧这里简要回顾一下排列组合的内容。
排列数,是指从若干个不尽相同的物体中,抽取一定数量的物体,之后将他们以某种规则排序,可能出现的排序的总数。
比如说,我们从今天所有读了老碧文章的500名读者中抽奖,第一个抽到的给50块钱,第二个抽到的给20块钱,第三个抽到的给10块钱。最后发现抽到了,老碧,雪碧,碧姐三个人,那么很显然,一二三等奖分别是老碧,雪碧,碧姐,和,一二三等奖分别是,碧姐,老碧,雪碧,是完完全全不同的两件事情,这就是所谓的有序。而我们算的就是,500个人中抽取3个人的排列数。
在排列中,往往这若干的物体不尽相同。
如果我们将他们视作无差别,比如,我们从读者中抽取三个人,都给他们20块钱,最后抽到了老碧,雪碧,碧姐,三个人,这样,谁先被抽到,谁后被抽到就是一件相对而言次要的事情,反正第一个和最后一个人都会拿到20块钱。那么这种抽奖方式对应要算的便是组合数。
组合数,指的是,从若干个不仅相同的物体中,抽取一定数量的物体,被抽取的物体之间不进行排序,所有抽法的总和。
而排列组合在高中阶段解题中,教了许多技巧,其中最不容易出错的,其实是最傻的枚举法。就是把排列组合的所有可能性列举出来,但是说枚举法傻,其实也并不傻,很考察一个人思维的严谨度,对训练一个人全面地思考问题是很好的方法。
比如说,将三个人排序,那么不外乎,先选排名第一的人,这个时候有三种可能性;再选排名第二的人,因为选走了一个,还有两种选法,每一种第一的选择对应两种第二的可能性,所以应当相乘;最后选排名第三的人,就只剩一个人了,和之前道理一样,也应该用乘法。所以一共有6种可能性。我们把他们枚举出来就是,123,132,213,231,312,321。
说到这里聪明严谨的宝宝肯定就明白了,老碧在这里出现的逻辑漏洞其实是,如果用“枚举法”考虑分划的可能性,那么除了上述三种情况,应该从逻辑是还有第四种可能性才对,那就是:
上组有最小数,下组无最大数;
上组无最小数,下组有最大数;
上组下组都无最值;
上组下组都有最值。
而第四种可能性是不成立的,老碧漏说了这一点,所以造成了第一个逻辑上的不严谨。书上对第四种可能性为什么不成立做了以下说明:

这段话其实是对第四种可能性不成立的证明,用到了上次说到的反证法。
“反证法”的核心在于,用假设制造矛盾。而假设的前提用到了上次说的:“排中律”。如果我们无法直接证明一件事是对的,那么不妨证明这件事的对立面是错的。“反证法”最普遍应用于,“证明xxx情形不成立”或者“不存在xxx,满足某条件”的证明中。
我们要证明“第四种可能性不成立”,按照反证法的思想:
我们首先得阅读这个命题“不存在上下组都有最值的分划”;
然后,对于最简单的命题的否定就是在它的动词前加“不”,或者去掉“不”。
所以这个命题的对立是“存在一个上下组都有最值的分划”。
在这个前提下我们展开推理——
如果存在一个上下组都有最值的分划,那么我们由“有理数分划的定义可知”:
因为“下组的最大值”和“上组的最小值”都是该组的成员,所以它们都是有理数;
又因为上下组没有公共元素,所以这两个最值是不相等的两个有理数;
其中“下组的最大值”小于“上组的最小值”。(红字部分即为定义的复述。)
还记得我们在Ep1中提到有理数的稠密性吗?

我们就可以知道:在“下组的最大值”与“上组的最小值”之间存在有理数,这与“有理数的分划”定义中,“上下组覆盖所有有理数”矛盾。
所以由对立假设,我们导出了与定义矛盾的结论。故而假设不成立,由"排中律",则假设的反面成立,即“不存在上下组都有最值的分划”。
由此我们解决了上期第一个bug,至于第二个bug,我们下期再聊!
我是爱你们的老碧,我们下一期,不见不散!