【乐正垂星】挂谷问题，但是不炸厕所

对于正三角形部分发表一些拙见：

思路简述：

1. 凸挂谷集的面积大于等于围成图形的面积，在围成图形为正三角形时取等；

2. 围成图形的面积在XG=1, r=1/3时取得最小值，此时围成的图形为正三角形.

因此，凸挂谷集面积的最小值在围成图形为正三角形时取得，此时凸挂谷集和围成的图形重合，亦为正三角形。 

黄：凸挂谷集 紫：围成的图形

解释一下：

【1】

围成的图形是在凸挂谷集内部向内切圆作切线得到的，因此凸挂谷集始终大于等于围成的图形的面积。

由于凸挂谷集过XYZ三点以及内切圆的三个切点，因此围成图形为正三角形时，凸挂谷集和围成图形重合，面积相等。

【2】

围成图形面积何时取到最小值：

面积表达式（把图形分成三部分推导，过程略）：

其中r为内切圆半径，l为XG长度(r ≥ 1/3, l ≥ 1)

当r不变时，易得S随l减小而减小；l不变时，根据up视频中的阐述，S随r减小而减小。

因此在r=1/3, l=1时围成图形面积取得最小值，此时，围成的图形为正三角形。

注：up在

的面积表达式是根据l=1列出的。而这里的表达式是更加一般的情况。

尝试解答疑惑：

正三角形为什么是挂谷集？

首先要明确，正三角形是我们通过做切线得到的围成区域。

5：44 “正三角形的面积，是所有凸挂谷集中最小的”应该更正为"正三角形的面积，是所有围成图形中最小的"。只是此时围成的图形和凸挂谷集重合，因此这里正三角形的面积就是对应凸挂谷集的面积。

刚刚说到，凸挂谷集和围成图形的重合条件是正三角形。此时，二者面积相等、性质相同，因此，正三角形是凸挂谷集。

至于为什么通过内切圆和围城区域作出的图形是挂谷集，还需进一步证明。