二次函数图像特点应用——课题研究

二次函数图像特点应用

天津市第四十二中学课题研究 王子涵 黄子轩 张禄垚 吴汉森 刘洋 么家桐 何忠宸

指导教师：张力芹

定义:表达式如y=ax^2+bx+c (a≠0,且a,b,c是常数)的函数,我们把y叫做x的一元二次函数. 

二次函数有三种表达式: 

 (1)一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 

 (2)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)</CA> 

 (3)交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和 B（x?，0）的抛物线  其中x1，2= -b±√b^2－4ac  

3. 图象特征:一条抛物线,对称轴是 x=-b/2a,顶点为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)  当a>0开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小, 在对称轴的右侧y随x的增大而增大  当a<0开口向下, 在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小.  

4借助二次函数的图象和性质解决有关生活实际问题的基本方法：  数学模型 转化 实际问题（二次函数的图象和性质）  实际问题（二次函数的图象和性质） 回归 数学模型

重难点1、轴对称

 

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 ，对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。a,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧。

 

2、顶点

 

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

 

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）

 

3、开口

 

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

 

4、决定位置因素

 

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

 

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号。

 

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。

 

可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。