【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep90】函数与数列的关系（下）：海涅归结原理

上次提到——

海涅归结原理：函数f在a处有极限A的充要条件是，对任何一个收敛于a的数列（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限A.

今天讲这个定理的证明，充要条件，必然分为充分性和必要性两部分。

a.必要性

已知：f（x）在x=a处收敛于A。

求证：对任何一个收敛于a的数列（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限A。

证明——

1. 已知f（x）在x=a处收敛于A，即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ，|f（x）-A|<ε；

2. 数列{xn}收敛于a，即任意给定δ>0，存在自然数N，n>N时，0<|xn-a|<δ；——只要在a的δ邻域内一直取，异于a的值即可，不等号右边自然成立；

3. 结合1，2，已知f（x）在x=a处收敛于A，即对任意ε>0，对应δ>0，存在自然数N，n>N时，0<|xn-a|<δ，则|f（xn）-A|<ε，

   即任意ε>0，存在自然数N，n>N时，则|f（xn）-A|<ε，即数列{f（xn）}以A为极限。

b.充分性

已知：对任何一个收敛于a的数列（xn不为a：n=1，2，3，……），数列f（xn）有极限A。

求证：f（x）在x=a处收敛于A。

证明（反证法——）

1. 假设f（x）在x=a处不收敛于A，即存在ε0>0，对于任意δ>0，当0<|x-a|<δ，|f（x）-A|>ε0；

2. 取一列正无穷小{δn}；

3. 构造数列{x'n}，使得0<|x'n-a|<δn，由1，对于任意n，|f（x'n）-A|>ε0，即f（x'n）不以A为极限，矛盾，证毕。

就到这里。