Strongart教授：浅谈初等拓扑斯（topos）

  拓扑斯（topos）理论是当代数学的基础性领域，可以视为范畴论深化发展。一般所谈的拓扑斯，可能有两种解释，一种是Grothendieck拓扑斯，另一种是初等拓扑斯。Grothendieck拓扑斯是范畴上层的等价类，它可以视为初等拓扑斯的实例（见【2】），下面我们主要介绍初等拓扑斯。

 

  初等拓扑斯指有子对象分类（subobject classifier）的Cartesian闭范畴。为了理解这个定义，我们要介绍一些范畴理论的知识。

  给定范畴C两个对象A与B，B通过A的指数指对象B^A与态射ev：B^A×A→B，使得对任何态射g：C×A→B，唯一存在态射g：C→B^A，使得g = ev ·（g×id_A）. 在集合范畴中，B^A就是所有映射A→B的集，ev（f，a）= f（a）是赋值。实际上，就是要求伴随关系：-×A ┤（-）^A，有自然同构：Hom（C×A，B）= Hom（C，B^A）.

  Cartesian闭范畴指存在所有有限积且任何两个对象都有指数的范畴。集合范畴Set是Cartesian闭范畴，但拓扑空间范畴Top不是Cartesian闭范畴。事实上，伴随函子有个基本性质：若F┤G，则F保持上极限且G保持极限。因此，对于Cartesian闭范畴，函子-×A左伴随应该保持上等值子，进而保持商关系，但一般情况下，这里的积不保持商拓扑，这就是说明Top不是Cartesian闭范畴。

  范畴C的始对象0指对任何C的对象A，存在唯一箭头？：0→A；其终对象1指对任何C的对象A，存在唯一箭头！：A→1. 需要强调对象时，就引入下标!_A：A→1. 在集合范畴中，始对象就是空集∅，而终对象是单点集{*}. 在群范畴中，平凡群{0}既是始对象又是终对象。

  对范畴C内的任何对象A，定义其子对象为C内的单射S→A. 范畴C的子对象分类指对象Ω与整体元素t：1→Ω，满足对任何单射m：S→A，存在唯一箭头χ_m：A→Ω，使得：χ_m·m = t·！，其中！：S→1（如图），这里χ_m一般称为m的特征映射。

   

  在集合范畴Set中，我们取Ω={0,1}，子集对应的特征映射就是它的特征函数。对于Ω包含两个元素的情况，我们通常会把它解释为真值与假值，此时的拓扑斯称为二值拓扑斯。

  若范畴C有子对象分类Ω，则任何对象A的子对象类：

      Sub（A）= Hom（A，Ω）

它由m∈Sub（A）到χ_m：A→Ω诱导。

  对象A的幂对象P（A）定义为对象Ω^A，由Cartesian闭范畴的定义可得，拓扑斯内一定存在幂对象。

  拓扑斯内的箭头是同构 iff 它既是单态射又是满态射。事实上，任何单射m：S→B都可以视为真值映射t_B = t·!_B与特征映射χ_m的等值子，若m同时还是满射，就有t_B = χ_m，故m其为同构。

  我们还有：拓扑斯内任何箭头f都有唯一分解f=me，其中m是单态射且e是满态射。

  下面是一些常见的拓扑斯例子：

  1）集合范畴Set是拓扑斯。

  2）对任何范畴C，Set^(C^op)是其上是预层拓扑斯。

  3）拓扑斯范畴的任何切片范畴（slice category）是拓扑斯。

   

  接下来，我们简单看一下拓扑斯的逻辑，我们可以引入：

  1）真值映射t：1→Ω为1→1的特征映射。

  2）假值映射fa：1→Ω为0→1的特征映射。

  3）酉算子~：Ω→Ω为fa：1→Ω的特征映射。

  在此基础上，可以定义格L为配备二元连接词 ∧与∨满足：对其任意x，y，z∈L，

    x∧x = x = x∧t

    x∧y = y∧x

    （x∧y）∧z = x∧（y∧z）

    x∧（x∨y）= x

与其对偶关系。格L是分配的，若它还满足：

    x∧（y∨z）=（x∧y）∨（x∧z）

   我们还可以定义Heyting代数为添加了二元算子→的格L，满足条件：对任何x，y，z∈L，

    （x∧y）≤ z iff x ≤（y→z）

   Bool代数定义为带酉算子~的分配格L，满足对任何x∈L，

    x∧（~x）= fa，x∨（~x）= t

  在Bool代数中，若定义：

    x→y = （~x）∨ y

则它构成Heyting代数。

  Heyting代数是Bool代数 iff 它满足：对任何元素x，x∨（~x）= t且~~x=x.

  拓扑斯中的子对象分类构成Heyting代数，因此它对应着拓扑斯的逻辑，实际上就是所谓的直觉逻辑。

  设E是拓扑斯，则下列条件等价：

  1）Ω是Bool代数

  2）~~=1_Ω.

  3）Ω内所有子对象有补

  4）（t，fa）：1∪1→Ω是同构

  若这些条件成立，则称Ω是Bool拓扑斯。

  我们可以把上述结构概括为（来自【5】）：经典逻辑/直觉逻辑 = Bool代数/Heyting代数。

  考察一下集合拓扑斯Set，其中可以定义元素为范畴的整体对象c：1→A，它还满足下列公理条件：

  1）良点性（或1生成性）：对任何箭头f，g：A→B，若f≠g，则存在某c：1→A，使得f·c ≠ g·c.

  2）非平凡性：1≠∅.

  3）无限性：存在自然数对象N.

  在良点拓扑斯中，我们有很多良好的性质：

  1）1的唯一子对象是1或者0。

  2）任何（范畴意义上的）单态射（或满态射）都等价于单射（或满射）。

  3）良点拓扑斯是Bool的，也是二值的。

  Set是良点拓扑斯，因此是Bool拓扑斯，也是二值拓扑斯；指数范畴Set^2是Bool拓扑斯，但不是二值拓扑斯；箭头范畴Set^→既不是Bool拓扑斯，又不是二值拓扑斯。

  拓扑斯E满足选择公理，若其任何满态射都是可裂的。我们有下列综合性结论（见【6】），拓扑斯E是良点的 iff E是Bool的，二值的且满足选择公理。

  拓扑斯中的自然数对象指带有整体元素0:1→N与后继箭头s：N→N的对象N，，满足对任何有元素q：1→A与箭头f：A→A的对象A，存在唯一箭头u：N→A，使得u·0=q且u·s = f·u. （请读者画图）

  实际上，这就是数学归纳法的基本形式：

    ├ u（0）= q，u（sy）= f（u（y）），y∈N

  在此基础上，我们可以定义数学中的常见运算，比如加法、乘法、序关系等等。

  扩展阅读： 

  【1】McLarty C. Elementary categories, elementary toposes[M]. Clarendon Press, 1992. （自带范畴论基础的拓扑斯入门书，内容比较精粹，本文主要参考书）

  【2】Johnstone P T. Topos theory[M]. Courier Corporation, 2014. （拓扑斯理论的经典参考书，同作者还有一本更厚的拓扑斯大象）

  【3】MacLane S, Moerdijk I. Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （早期的拓扑斯理论参考书，涉及很多逻辑与几何应用）

  【4】HENDERSON C. ELEMENTARY TOPOI: SETS, GENERALIZED[J]. 2009. （自带范畴基础的初等拓扑斯理论小结）

  【5】Kostecki R P. An Introduction to Topos Theory[J]. Technial Report, 2011.（draft） （来自物理系的拓扑斯理论小结）

  【6】Pettigrew R. An introduction to toposes[J]. Department of Philosophy, University of Bristol www. mcmp. philosophie. uni-muenchen. de/students/math/toposes. pdf, 2008. （来自哲学系的拓扑斯理论小结）

  【7】贺伟, 范畴论[M]. 科学出版社, 2006. （中文范畴入门书，拓扑斯理论的预备知识）