裂项相消绝技----1换大根n

今天先来看这样的一个问题

先说常规的解法

下面给出给有趣的原创解法

大家看上面表达式中的1和下面的n，大家注意，交换上面的1和n之后，你就可以得到下面的表达式

你知道这个是啥吗？这个就是答案，只需要5秒，这个计算结果快的好像骗人似的。

要不我们换个题目行不行，可以，再来看一个求如下这个数列的前n项和。

只要交换红色的1和n就会得到

嗯，这就是答案。

我这里先说结论吧：分母为二次函数的分式表达式的前n项求和，一般先对分母进行因式分解，令分母等于0，可以解出两个根，（只有当根之间的差为整数时，才可以用裂项相消的方法求和）当根距（大根减小根）=1时，

该数列的前n项和=分子的1和分母中大根对应的n交换后得到的表达式，这个步骤用一句话概括是：1换大根n

也就是说：当根距=1时候，Sn等于1换大根n

举个例子：

大家可以看上面这个表达式，令分母为零，可以得到两个结果，一个是二分之一，一个是负二分之一，二分之一对应的那个2n-1中的n称其为大根对应的n，叫做大根n；另外一个负二分之一对应的那个2n+1中的n我称其为小根对应的n，叫做小根n。

下面是一个应用：求这个数列

的前n项的和的话，

第一步：令分母等于0，发现两个根的距离是1，并且判定2n-1中的n是大根n

第二步：1换大根n，得到结果

下面说说我是怎么发现这个公式的。

有一次，注意到一道题，2010年安徽卷高考真题

这个题目后来被骂的很惨，说这个题目以前出现过，高考怎么能出成题呢，应该原创。当时我就猛然发现，你看这个表达式的最后两个怎么这么像。

，

是不是左边这个上面分子是1，底下左边的是n，我们把1和左边的n换过来就得到了右边的答案。我一阵狂喜，我感到这里有一个结论。发现之后，自己一个人高兴了两天。真的是发现的喜悦。下面给出证明

现在我们一起来观察一下这个题目的条件和结论之间的关系

条件是

答案是

大家看，是不是上面的1和左边的an+b中的n直接交换，就是答案

这就是“1换大根n”这个结论的证明。

说说公式的使用：小题随便使用，大题必须要写出过程。

哈哈哈哈哈

这个公式没有之前错位相减的公式有力，

原因是：1 本来这个题目的难度就不大。2 考试中都是解答题，必须要写过程。一般过程写完，一般的也就算出来了。

说说这个公式的好处吧，嘻嘻，过于简洁。一般很多同学真能做到5秒之内直接看出答案。课堂教学中，好处是能够激发学习兴趣。

曾经跟同行分享过，大家也觉得十分有趣。嘻嘻。

最后，多说两件事情。

第一：“根距”不是1可以不？

可以，但是很麻烦。首先，根距是整数才可以裂项相消，在实际的高考中，只出现过根据为2的。按照实际出现的概率来看，根距为1的占9成以上，剩下的都是根距为2的。

根距为2的怎么算呢，一下给出做法，纯属老师自娱自乐（上课不能讲）

第二，根式的裂项也能用这个方法居然：

解：令分母的两个根式跟别为0，然后得到大根二分之一和小根负二分之一，

根距为1，进行1换大根n之后就可以得到结果啦。操纵如下图

为什么上课不讲这个，因为，结果不是最简单的，学生还要自己化简，不如不讲，这个推导出来就只能用来自娱自乐啦。哈哈哈

最后，本文讲到的快速技巧有三个，全是如何进行1换大根n

但是，上课能都讲吗？不能，只能讲第一个，而且要先讲一般方法，快速方法，短平快，一带而过，增加兴趣。嘻嘻