（二十七）初中数学之 相似三角形 篇

一、比例线段（定义、性质、概念、名称）

1、定义：

一般地， 如果两个实数的比值与另两个数的比值相等（比值不为0），那么，就说这四个数成比例。

例如：a、b、c、d（a且b且c且d≠0）四个实数成比例表示为a：b=c：d或a/b=c/d，其中b、c为内项，a、d为外项等等。

2、性质：

a/b=c/d⇔axd=bxc（a、b、c、d不为0）

3、比例中项：

一般地，如果三个实数a、b、c（a且b且c不为0）满足a/b=b/c（a：b=b：c），那么，b就叫做a、c的比例中项。

4、比例线段：

①两条线段的长度之比叫做这两条线段的比。

②一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

5、黄金分割比：

如果有一条线段AB，上有一个点P把AB分成AP和PB，使AP>PB,且PB/AP=AP/AB，那么，我们称线段AB被P点黄金分割，P叫做AB的黄金分割点，较长的线段AP与整条线段AB之比叫做黄金比。

例如：如图所示，设AP/AB=x，PB=AB-AB·x，AP=AB·x（x＞0）。

因为PB/AP=AP/AB=x，

所以（AB-AB·x）/AB·x=x，化简整理可得，x^2+x-1=0（x＞0），

解得，x=√5 -1/2≈0.618。

所以，黄金比的近似值为0.618。

6、平行线之间的比例线段：

一般地，我们有以下基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。

例如：如图所示，AB/A´B´=BC/B´C´，AB/AC=A´B´/A´C´等等。

二、相似三角形

1、定义：

一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形，用符号“∼”表示，相似三角形对应边之比叫做相似比。

2、判定定理：

①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如下图：DE∥BC，DE与AB、AC相交，则△ADE∼△ABC。

②有两个角对应相等的两个三角形相似。

（证明：对于两个一大一小的三角形，可以在大三角形上作与小三角形全等的三角形，即：先作等长线段，再作平行线。利用①的定理，可以得到新三角形与大三角形相似且与原小三角形全等【角边角（ASA）】，即可证明大小两个三角形相似）

③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。

（证明：对于两个一大一小的三角形，可以在大三角形上作与小三角形全等的三角形，即：先作等长线段，在作平行线。利用①的定理，可以得到新三角形与大三角形相似且与原小三角形全等【边角边（SAS）】，即可证明大小两个三角形相似）

④三边对应成比例的两个三角形相似。

（证明：对于两个一大一小的三角形，可以在大三角形上作与小三角形全等的三角形，即：先作等长线段，在作平行线。利用①的定理，可以得到新三角形与大三角形相似且与原小三角形全等【边边边（SSS）】，即可证明大小两个三角形相似）

3、性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（定义）

②三角形的重心：

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心平分每一条中线成1：2的两条线段。

证明如下：作AF、BE、CD分别平分BC、AC、AB，连接DE。

因为D、E分别平分AB、AC，

所以DE为△ABC的中位线，DE∥BC，

所以∠CDE=∠DCB，∠DEB=∠CBE，

所以△DEO∼△CBO，且相似比为DE:BC=1:2，BO:OE=2：1。

同理可得AF与CD的情况，即：三角形的重心平分每一条中线成1：2的两条线段。

③相似三角形的周长和面积：

相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。

证明如下（上图）：设△DEO与△CBO的相似比为k（k＞0）。

因为△DEO与△CBO的相似比为k（k＞0），

所以DE/BC=OD/OC=OE/OB=k，DE=BC·k，OD=OC·k，OE=OB·k，

所以C△DEO：C△CBO=（DE+OD+OE）：（BC+OC+OB）=k。

分别作DE、BC的高线（图中未作出），根据判定定理②可以得到被高线分别平分的两个三角形对应相似，再根据三角形面积公式可得，S△DEO：S△CBO==k^2。

三、相似多边形

1、定义：

一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。

2、性质：

相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

（证明可参照三角形的方法，复杂的图形化简单，化规则）

四、图形的位似

1、定义：

一般地，如果两个图形满足以下两个条件：①所有经过对应点的直线都相交于同一点；②这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心。位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比。（可以把两个图形放在平面直角坐标系中）

2、性质：

当以坐标原点为为似中心时，若原图形上点的坐标为（x,y)，位似图形与原图形的位似比位k(k＞0），则位似图形上的对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）(k＞0，x、y不同时为0）。