量子场论（五）：实标量场的哈密顿量与总动量

实标量场的哈密顿量密度为：

对全空间积分得到哈密顿算符：

这个结果可以看作是一维简谐振子的哈密顿量向无穷多自由度的推广。

是三维动量空间中处的粒子数密度算符。

（5.2）式最后一行的第一项是所有粒子贡献的能量之和。而第二项，如果积分是针对于全空间的话，那么该项就是一个无穷大的数（不是算符），是真空的零点能。如果不考虑引力现象，那么零点能并不重要，重要的是两个能量的差。都有零点能就相当于没有。

哈密顿算符与产生湮灭算符的对易关系为：

因此：

设是哈密顿算符的本征态，本征值为则有：

从而：

可见产生算符的作用就是让能量本征值增加而湮灭算符的作用是让能量本征值减少

实标量场的总动量算符为：

设是哈密顿算符的本征态，本征值为则有：

动量算符与产生湮灭算符的对易子为：

也就是说：

从而：

可见产生算符的作用就是让动量本征值增加而湮灭算符的作用是让动量本征值减少