【Advanced控制理论】11_现代控制理论串讲(state space)

State-Space Representation

状态 dot x = A x + B u

输出 y = C x + D u

上式拉式变换 s Xs = A Xs + B u(s)，移项，Xs = ( s I - A )-1 B us

下式拉氏变换 Ys = C Xs + D us，带入Xs，Ys = ( C ( s I - A )-1 B + D ) us 

传递函数 Gs = Ys / us = C ( s I - A )-1 B + D

开环系统，没有输入

dot x = A x

矩阵A的特征值 λ，根据矩阵A的特征值λ来判断系统的表现

x1 = C11 eλ1t + C12 eλ2t + …

x2 = C21 eλ1t + C22 eλ2t + …

对于指数函数ent，λi = a+ib

n大于0，单调递增；n小于0，单调递减

eλit，λi = a+ib

特征值的实部部分a，

Re(λi) < 0，t 趋向于∞，xi趋于0

Re(λi) > 0，t 趋向于∞，xi趋于∞

特征值的虚部部分b，不等于0，有振动，

Im(λi) < 0，t 趋向于∞，振动越来越小，最终趋于0

Im(λi) > 0，t 趋向于∞，振动越来越大，最终趋于∞

闭环系统，有输入

u = - k x

dot x = A x - B k x = ( A - B k ) x，设计不同的k控制( A - B k ) (Acl)的特征值

一种选择k的方式 LQR( Linear Quadratic Regulator )

在x不可测的情况下，设计观测器，x hat

x - x hat = e

x hat = A x hat + B u + L( y - y hat)

y hat = C x hat + D u

dot e = ( A - LC ) e

使得( A - LC )的特征值小于0，

就可以使得e在时间趋于∞的时候趋于0,

x hat便会趋近于x，

根据观测器来设计控制器

重点在于A矩阵的特征值

特征向量 A * V = λ * V，同向/反向，不会发生其它方向的变化

| λ E - A | = 0

Gs = C ( s I - A )-1 B + D

( s I - A )-1 = ( s I - A )* / | s I - A |

| s I - A | = 0

在传递函数中求极点，就相当于在矩阵中求特征向量