![]()
{"ops":[{"insert":"本文同步发表于本人知乎账号最终鬼畜四氢呋喃，欢迎前来围（捧）观（场）\n碎碎念一下：我还记得我第一次学完空间向量的应用的那个晚上为我大物理中延伸出的向量概念竟能有如此大的应用而感到兴奋与莫名的自豪（），当天作业中每道题都用几何法和坐标法做了一遍（可想而知那天搞到了很晚），结果喜新厌旧好逸恶劳（而且因熬夜精神不好）的我不出意外到了第二天热情就消散了（所以什么时候把淡圈车万安排上，觉得每道题都要建系来计算也挺麻烦的，更重要的是这种方法人云亦云，不能标新立异（划掉）。尤其是后来深陷解析几何的泥潭后更是觉得计算这种事机器都会，人应该做的是机器不会的事，于是（快毕业了突然想起了这点琐事，想到高考后如果把知识全还给老师就不能再水一篇专栏了，才）有了这篇专栏。\n（当然解析几何当中也有很多机器想不出的技巧，它们也很有意思）\n当然考试的时候立几大题第二问我一般都还是建系做的，毕竟不费脑子提笔就能写[笑哭]，本文所讲的各种方法也（很明显）要麻烦很多。\n笔者快开学了，作业也还没写完，没时间用几何画板画图，没时间用word公式打出来，也没时间找例题，感兴趣的自己下去落实（）\n不过后面有几个模型的证明，大家不要一看没有循循善诱妙趣横生发人深省听君一席话胜读十年书的例题就退出去了（）\n祝大家新春快乐！\n\n预备技能：\n①找/作（下文不区分“找”与“作”）平面与已知直线垂直：\n找两条直线与该直线垂直，这两条直线所在平面及与之平行的所有平面即为所求平面（线面垂直的判定定理）\n②找已知平面的垂线/法向量（除非特别说明，下文不区分“某个平面的垂线”和“法向量”）：\n在该平面中找两条相交直线，用①中的方法做出与这两条直线分别垂直的平面（本文简称这种平面为“垂面”），垂面的交线即为该平面的垂线，该交线的方向向量即为该平面的法向量\n（垂面上的任意直线均与该直线垂直，那么两个垂面的交线必与其所对应的两条相交直线垂直，由线面垂直的判定定理得该交线即为垂线）\n③等体积法求点线距离：\n教辅书上都有，这里就不赘述了。这种方法可以避免做辅助线的难想与繁琐，又是一种不用建系的用计算来解决问题的方法。\n\n空间角（三角函数值）的计算：\n1.线线角：平移共顶点后锐角三角函数的定义或正余弦定理即可，也可以用基底的线性运算表示两条直线的方向向量，用数量积的定义解决问题。\n2.线面角：用上文所述的方法找出垂线，用定义解决问题；也可根据公式（其中法向量的寻找见上文）\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/fa8a6b9d523c55b21370005c369e988005ea3094.jpg","width":2304,"height":1728,"size":1416394,"status":"loaded"}}},{"insert":"来算出sin（注意是sin啊sin！笔者一次又一次的教训[笑哭]）。\n如果垂线不好找可由③求出其长度，再利用锐角三角函数定义即可。\n3.面面角/二面角（本文因笔者懒得分类讨论不予以区分，但考试的时候要区分两者取值范围的问题，笔者老师教的面面角的范围是（0，π/2），而新教材中的二面角的范围是[0，π]：\n①对定义法的改进：用基底的线性运算表示两条垂直二面角的棱的直线的方向向量后用数量积的定义来解决问题（此法中要求的两条直线不一定共顶点，应用更广泛）。\n②过其中一个平面上一点作另一个平面的垂线（具体方法见上文）即可作出二面角的平面角。\n\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/cf2e37f6a8ceb186f0450802b2c063f3780efe4e.jpg","width":1152,"height":487,"size":223802,"status":"loaded"}}},{"insert":"由定义即可得厶AOB为平面角，平面角的求法见上文线面角的求法。\n\n常见（大嘘）模型——两种尖尖角模型：\n笔者老师说这是常见模型要我们牢牢掌握，不过自从学空间向量后就闭口不提了（现在怕不是班上就我还记得了hh。\n还是空间向量太好用了啊233。\n平行：\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/c7887781d83770b41c7aee6c7a32f78607afe6a9.jpg","width":1657,"height":1064,"size":878817,"status":"loaded"}}},{"insert":"这个小结论在大题第一问证明中有时会用到，答案一般给的证法是法一（我高二也不会这个证法高三题做多了才从答案中学会，法二是自己瞎编的）。\n相交：\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/050052c5a35879534bc96172ab965d013098dfaa.jpg","width":1536,"height":1152,"size":1012181,"status":"loaded"}}},{"insert":"如图，ABM和CDM分别是两个平面，若AB∩CD＝N，则MN＝面ABM∩CDM，这个由2019年新人教版A版必修二课本P125的基本事实2或接下来一面的基本事实3均可得到，也很显而易见是吧。\n（虽说是基本事实，貌似欧几里得酱几千年前在《原本》里都用五条公理证了一遍呢哼哼）\n（顺便谈谈自己对五条公理的一点拙见吧。个人感觉直线既然作为一种只能被描述不能被定义的基本概念那好像也没必要专门提出个公理二的说法？还有公理三感觉可以算成是圆的定义。如果这样的话欧式几何的公理还可以再精简一些\nAB，CD异面：延伸两个平面得它们的交线即可\n既知两平面之交线矣，问求其二面角之术，乃见之于上文（什么唐突蹩脚文言\n如果还有别的没想起来的方法的话以后想起来了再补充吧。\n《诗经》云：“他山之石，可以攻玉。”苏子瞻尝言：“博观而约取，厚积而薄发。”毛主席也强调：“百花齐放，百家争鸣。”计算而不推理则罔，推理而不计算则殆。橐驼非能使计算快且对也，能作垂线之方向向量，以坐标运算致其数量积焉尔（什么六分。几何法（个人对这种方法有个中二的叫法——欧几里得时空法），线性运算法，坐标法各有其利弊，“集众家之所长为己所用”不仅是我们面对百年未有之大变局，近代以来中华民族伟大复兴的中国梦与人类命运共同体进程中文化多样性的最佳方式，更是我们解决立体几何大题第二问的正确思想方针（递进关系错了吧啊喂。\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b2.sanwen.net/b_article/9f97ea940b50769ea342c798fdc823b27d33e99f.jpg","width":460,"height":580,"size":191871,"status":"loaded"}}},{"insert":"感谢阅读！\n"}]}
标签：
