论如何用原子弹炸苍蝇

温馨提示：本文对不了解射影几何的读者不太友好

最近，学校老师给了我们一套平行线成比例的讲义。但当我做了几题时才发现事情不太对劲——这全都是射影几何背景（出题者太会钓鱼了）。于是，我就来探讨一下这套讲义究竟是如何来钓鱼的。

在正文开始前，我们先来介绍一下接下来所需要的定理。

对于三角形与直线所形成的比例，我们有著名的梅涅劳斯定理。那么，对于四边形与直线，在射影几何中也存在一个著名的定理——笛沙格对合定理（以及其对偶形式）。熟悉射影几何的读者一定对其不陌生。

第一眼看到这题，就发现调和太明显了，直接运用调和四边形的性质立刻得证，具体如下：-1=[AA,AE;AC,AB]=[∞,F;C,D]，故知CF=DF。

题目中给了两个条件：MN⊥BC，∠DNM=∠ANM，而结论要证明∠QNM=∠PNM，即只需证[NP,NQ;NM,NC]=-1=[NA,ND;NC,NM]，这即是交换了(NP,NA)(NQ,ND)(NM,NC)，故想到笛沙格对合定理的对偶形式，具体过程如下：对完全四边形CDPMAQ及点N运用笛沙格对合定理的对偶形式，知(NP,NA)(NQ,ND)(NM,NC)为同一对合的三组对应直线，故[NP,NQ;NM,NC]=[NA,ND;NC,NM]=[A,D;∞,M]=-1，又NM⊥NC，故知∠QNM=∠PNM。

这道题一股极线的味道，过程如下：过A作BC平行线交EF于I，则A的极线为EF，G的极线为AI，故知I的极线为AG，所以[AI,AH;AB,AC]=[AI,AG;AF,AE]=[I,G;F,E]=-1，故BH=CH。

这两道题的构型十分笛沙格，先是例二的解答：对四边形ABCD及直线a运用笛沙格对合定理，知(M,N)(R,S)(P,∞)为同一对合的三组对应点，其中∞为直线a方向的无穷远点，故[M,R;P,∞]=[N,S;∞,P]，即MP/RP=SP/NP，即PM·PN=PS·PR。

然后是练习一：对四边形ABCD及直线EF运用笛沙格对合定理，知(E,F)(O,O)(G,∞)为同一对合的三组对应点，故[E,O;G,∞]=[F,O;∞,G]，即GE/GO=GO/GF，即GO²=GE·GF。

这道题十分的经典，已经发现了许多初等的证明方法，我猜想出题者一定是用笛沙格对合定理出的题，具体如下：设A处切线交EF于Q，则PO=OQ。设EF与圆O交于两点I、J，则IJ为直径。对四边形AACD及直线EF运用笛沙格对合定理，知(P,Q)(I,J)(E,F)为同一对合的三组对应点。注意(P,Q)(I,J)可知这个对合可以写成f：关于O对称，故知OE=OF。

最后一题仍然是使用笛沙格对合定理，注意到共圆就不难了，具体如下：

当然，以上这些题都可以添加平行线来证明，这里就不叙述了。