高阶无穷小；实际问题中趋向0的快慢问题

牛顿282、高阶无穷小；实际问题中趋向0的快慢问题

 

高阶无穷小（百度百科）：

…阶，无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280、281》…

 

若lim（β/α）=0，则称“β是比α较高阶的无穷小”。意思是在某一过程（x→x0或x→∞这类过程）中，β→0比α→0快一些。

…较：见《牛顿114》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…]

…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…

…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…

 

基本概念

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

 

对于两个无穷小量α和β，如果lim（α/β）=0，就把α叫做比β高阶的无穷小量，并把β叫做比α低阶的无穷小量；简称α是β的高阶无穷小，β是α的低阶无穷小，记成α=0（β）。

 

例如，因为

所以x→0时，3x^2是比x较高阶的无穷小，意思是说在x→0 的过程中3x^2比x趋向0的速度快。

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

 

概念分析

…分、析、分析：见《欧几里得36》…

 

在同一个变化过程中的两个无穷小，虽然同时都趋向于0，但是它们趋向于0的快慢程度有时却不一样，甚至差别很大。

…变、化、变化：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

 

实际问题中，有时需要讨论这种趋向0的快慢问题，举例于下：

有一块正方形的金属片，它的边长原来是3，受热后增加了Δx，问这块金属片的面积增加了多少？

…Δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…

如图所示，设加热前正方形金属片的面积为A，即A=3^2=9，加热后正方形金属片的面积为A+ΔA

 

即：

A+ΔA=（3+Δx）^2=9+6Δx+（Δx）^2

 

因此正方形金属片在加热后面积增加了ΔA：

ΔA=6Δx+（Δx）^2

 

这个等式的右边有两项，我们在图中看到，画有斜线的两块窄矩形的面积之和就是6Δx，而画有交叉线的一小块正方形的面积就是（Δx）^2。

…面、积、面积：见《牛顿261》…

 

容易看出，当Δx→0时6Δx→0，（Δx）^2→0。就是说，6Δx和（Δx）^2都是当Δx→0时的无穷小。

我们把它们趋近于0的快慢情况列表比较于下：

从表中看出，当Δx→0时，（Δx）^2趋近0比6Δx趋近0快得多。从它们的比值来看，就有

即（Δx）^2与6Δx之比也是当Δx→0时的无穷小。这时，我们就说（Δx）^2是比6Δx高阶的无穷小。

 

一般地，我们对两个无穷小的比较作如下规定：

 

设α和β都是无穷小，如果α/β →0，我们就说α是比β高阶的无穷小。

在实际问题的计算中，如果遇到几个不同阶的无穷小量之和，常常把高阶无穷小忽略不计。例如，在计算上述正方形金属片加热后的面积时，如果Δx不大，就往往略去（Δx）^2项，而得到ΔA≈6Δx。

这样，既抓住了主要矛盾，又简化了运算手续，而且在许多情况下满足了实际问题的要求。

…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

…简、化、简化：见《牛顿33》…

…手（百度百科）：象形字。甲骨文暂未发现“手”字。

（…象形：描摹实物形状的造字法。如“日”，画一个太阳的形状“⊙”；“月”，画一个新月的形状“☽”…

…象形字：用象形造字法造出来的字…）

 

西周金文（图1）的形体是一只手的正视形：上像伸开的指掌形，下像肘（zhǒu）腕形。

小篆（zhuàn）（图5）也像手形，但五指都已弯曲。

隶书（图6-7）形体已看不出手形了，中指变成最上面的一撇，食指和无名指变成一横，拇指和小指变成一长横，肘腕变成竖撇。

楷书笔画化。

（…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…）

 

“手”字的本义就是人手，即腕以下能拿东西做事的部分，是名词。

可以引申表示“手艺”“亲手”“拿着”等义。

“手”作左偏旁时写作“扌”。

 

手字初文始见于西周金文，象形字，其古字形像人的手，有五指。

手本义指人体上肢前端能拿东西的部分，人使用工具的上肢前端。

引申作动词，表示手持、用手拿着。

又引申为自己亲手做。

还引申指小巧易拿的。

又指代人。

手也作量词用，用于技能、本领。

手是汉字部首之一，序号80。

手作左偏旁时写作“扌”。用手作意符的字可以分为两类：一类是名词，指手的部分，如：拳、掌、拇、指；一类是动词，指手的动作，如握、持、打、攀。“手”与“扌”在《汉字部首表》中同属一个部首序号，但分别列部…

 

…手（百度汉语）2：象形。小篆字形，象伸出五指形。本义：人体上肢的总称，一般指腕以下的部分。

 

字义：

1.人体上肢前端能拿东西的部分。

2.小巧而便于拿的：～册。～枪。

3.拿着：人～一册。

4.做某种工作或有某种技能的人：炮～。拖拉机～。能～。选～。

5.亲手：～书。

6.指本领、手段等：妙～回春。眼高～低。心狠～辣…

 

…续：见《欧几里得44》…

 

…手续（百度百科）：办事的规定步骤；办事的程序…

…手续（百度汉语）2：（办事的）程序：报名～。借款～。办理转学～…

 

“为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在、或为无穷大时，给出下面的比较定义。

请看下集《牛顿283、无穷小等价替换定理；用泰勒展开式推导等价无穷小公式》”

 

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