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在回归模型研究中，我们将讨论优化，而经典工具就是所谓的共轭。给定函数f：Rp→R，其共轭值为函数f ⋆：Rp→R使得

可视化考虑一个简单的抛物线函数（在维度1中）f（x）= x ^ 2 / 2，然后f ⋆（2）是线x↦2x与函数f（x）之间的最大距离。

1. f = function(x) x^2/2

2. fstar = function(y) max(y*x-vf)

我们可以在下图上看到。

1. 


2. polygon(c(x[idx2],rev(x[idx2])),c(vf[idx2],rev(x0*x[idx2],col=rgb(0,1,0,.3,border=NA)

3. abline(a=0,b=x0,col="red")

4. segments(x[i],x0*x[i],x[i],f(x[i]),lwd=3,col="red")

在这种情况下，我们实际上可以计算f⋆，因为

一阶条件是x⋆= y，因此

实际上，对于ℓp的共轭，我们可以使用以下代码对其进行可视化

1. 


2. f = function(x) abs(x)^p/p

3. fstar = function(y) max(y*x-vf)

4. vi(1.5)

1. 


2. f = function(x) abs(x)^p/p

3. fstar = function(y) max(y*x-vf)

4. vi(1, YL=c(0,10))

在那种情况下，如果f（x）= ∣x∣则

另一种情况是 

我们可以在下面看到

1. f = function(x) exp(x)

2. fstar = function(y) max(y*x-vf)

3. vi(1,YL=c(-3,3))

4. 


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