郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

质数（prime number）是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。

无理数（irrational number）， 是对于任何整数 和 ，不能用分数 表示的数字。

证明质数的平方根是无理数。

【题解】

设 为任何质数。如果 是有理数，它必须表示为两个互质整数（也称为相对素数或互素数）。

求等式的平方，得

将 和 表示为唯一质数因子幂的乘积（product of powers of unique prime factors）：

所以 写成

根据等式的右侧，所有唯一质数因子的指数都变成偶数（任何整数乘以2都是偶数）。这表明，如果双方相等的话，等式的左侧也应该由具有偶数幂的唯一质数因子组成。然而，还有一个额外的因素 使得这不可能。有两种情况可以说明：第一，如果 是 其中一个质数因子；第二，如果 不是 其中一个质数因子。

情况1：如果 是 其中一个质数因子，那么，假设 ，我们得到一个因子，这是一个具有奇数幂的质数因子。这与我们上面的假设是有矛盾的，即等式的左侧必须只包含具有偶数次幂的素数因子。

情况2: 如果 不是 其中一个质数因子，那么我们得到一个具有奇数幂的唯一素因式 （幂等于1）。这再一次与我们上面的假设是有矛盾的，即等式的左侧必须只包含具有偶数次幂的素数因子。

由于以上两个情况都是明显的矛盾，我们必须拒绝 是有理数这个假设。因此，质数的平方根是无理数。

【历史纵横】

希帕索斯（Hippasus of Metapontum，活在公元前500年）是一位毕达哥拉斯学徒。他首先证明了2的平方根是无理数。据传统说，他发现了这个数学真理后被淹死了！

上图被称为塞奥多洛螺旋（Spiral of Theodorus）。希腊哲学家柏拉图认为是塞奥多洛（Theodorus of Cyrene，约公元前465-399年）证明了在 1 到 17 之间的非平方整数的平方根是无理数。