从“王”字到圭表测影到勾股定理的漫想
注：以下内容非正式历史或文化研究，封面和下图为元代建的登封观象台，用于圭表测影确定历法（告城镇周公庙内，参考myzaker）。
上一篇文章关于先天八卦的认识中稍有提及圭表测日影确定历法和“王”字的关联，圭表上夏至、春秋分、冬至三条刻度线与子午线或者日影构成“王”字。其实“王”字有许多理解，如斧钺、权杖、“大人”，甚至说文解字中带着儒家特色的解释：
其主要围绕王权进行解释，此处继续“王”字和圭表测日影的理解。从以上说文解字中也看出，“王”字上中间一横距离上一横近得多（中画近上），这在圭表测影说法中非常容易解释，而且符合日影的观察者为坐北朝南的情况（对应王字方向为上南下北）：
看上图，已知夏至到春秋分变化的太阳高度角与春秋分到冬至变化的太阳高度角变化相同，即上图中春秋分对应的斜线是夏至和冬至到测杆鼎点夹角的角平分线，但是离测杆越远，相同大小的角度对应的边长越长，即有圭表上夏至线到春秋分的距离小于春秋分线到冬至的距离。那么“王”字在这一种解释下，就可以理解为掌握日影观测、掌握天文历法的人才能更好管理天下，毕竟我国一直是农业大国，而且自江西仙人洞的稻谷化石至今已经有1万2千年历史，要做好农业就离不开天文历法。另有不同地方的王字写法，中国历史上都城靠北的国家和文明，其“王字”中上两横更靠近，靠南的楚系则不明显，这与圭表测日影的结果较为符合。
再回看前文的说文解字中的“王”字，定量分析三横之间的距离如何呢？个人测量了文章开头图片中2个王字，中画到上下一横的距离之比分别为1:2和1:3（更精确点可以是5:9和3:10，以1:2写法的王字更主流），古人造字会有这么精确吗？或有，或无，但也不会太随意。开个脑洞，试想如果能够确定这个距离比例，利用中学的一点几何知识岂不是可以直接确定发明这个“王”字的古人或文明所在的纬度了？作为娱乐，我们不妨试试。先把圭表测量日影过程的几何关系简化为下图：
设北回归线纬度为A0， 发明者的地理纬度为B0，其中有关系如下：
夏至正午太阳高度角： ∠EPF = 90°+A0-B0
春秋分正午太阳高度角：∠EQF = 90°-B0
冬至正午太阳高度角： ∠EGF = 90°-A0-B0
设EF立杆的长度为1个单位，则有：
FP = tan(B0-A0)
FQ = tan(B0)
FG = tan(B0+A0)
利用以上关系去做PQ：QG的比值，并设比值为b，可得：
tan(B0）= 1/tan（A0）* (1-b)/(1+b)
（计算过程就不写了，中学知识足矣，比较简单）
计算结果：
当比值b=1:2时，B0=37.47°~37.56°（两个数据分别用北回归线或地球倾角23.5度和23°26′计算得到，实测b的比值不及1:2，B0或小于计算值），37°可是个大家应该熟悉的角度。
当比值b=1:3时，B0=48.99°~49.07°，快超出中国最北边的边境线了，也不是农业区了，不能用，且该种“王”字写法为儒化之后的写法。（当然，从计算公式可以看出B0的结果对比值b的变动非常敏感，最好能有其他数据佐证）
则用b=1:2时的情况，B0=37.47°~37.56°，而直角三角形中37°是一种特殊角度（实际角度应为36.87°），正是勾三股四弦五的出处。假设EF=4，B0取37°，则此时这个测日影的几何图中有：
FP = EF * tan(B0-A0) = 0.97
FQ = EF * tan(B0) = 3.01
FG = EF * tan(B0+A0) = 7.05
也即B0在36.87°~37.56°这附近小范围取值时（对应地理纬度的跨度为60~70km），考虑太阳光并非完全的平行光，物体成影的光暗交界有模糊，并不十分明确，同时忽略古代长度测量上小数点后百分之几的微小误差，则刚好能够使得以上水平和竖直向的直角边的各线段长度全部都是整数，水平上的三段小线段FP、PQ、QG 长度分别是整数1、2、4，为等比数列，即有1:2 = 2:4（这些巧合在久远的古代恐怕是非常神奇的事情了），且春秋分对应的斜边EQ = 5 也为整数，神奇地构成了勾三股四弦五的勾股定理。这种情况，完全可以成为古代人民发现勾三股四弦五规律的一种来源和说法。
读者于此处也应该看出了“勾”和“股”的区别，勾是水平地面上的直角边，股是垂直于地面的直角边，而并非普遍认为的“短边为勾,长边为股”的解释，证据在《周髀算经》中多处有“句广三，股修四，径隅五”类似的记载，广为水平向的长度增长，修为垂直向的长度增长（古代的“广修”为两个维度的增长，如“广修宫殿”，是在面积上和高度上增加宫殿，“广修功德”也是在广度上和大小上同修）《晋书》中也有记载“髀，股也；股者，表也”，“表”本身就是古代天文仪器圭表的组成部分，为直立的标竿，用以测量日影的长度（见表字的百度百科）。古代中国的几何学立足于现实意义，坐标系中是讲方向的，上为垂直向上或者正南方，直角边因方向不同而取不同的名。
如果继续追寻下去，B0对应的这个位置在哪呢？如果比值b为1:2且存在这样一个文明，这个时期当早于周朝。据《周髀算经》记载，约公元前11世纪的周初，周公问于商高关于天文测量和订立历法之事，商高说出了勾三股四弦五，说明中国的勾股定理在当时的天文业界早已被熟知。又有算经记载“周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸”（此处周髀高八尺，刚好是我们假定EF高为4的2倍，这可能不是巧合，或为了符合勾股数，或因以上发现勾股数的过程而传承下来的），日影长一尺六寸这个数据比西安（西周都城）和岐山多不过半寸，与洛阳（东周都城）较为一致，实际上西安和洛阳纬度相差不太多，都是北纬34°多，但从日影和纬度上讲，都和37°有些差距。同时从一些气候数据知道，周朝以前的夏商时期甚至更早的时期，地球气候以及中国气候都要比周朝更加温暖湿润，中原人类的文明中心和活动中心在这段时期要更北一些也合理，比如就是北纬37°左右，其对应的是商朝的都城之一的耿（河北邢台市，北纬37.07度）或者是一些上古文明呢？真实情况尚不得而知。
以上都是从“王”字的中画到上下距离比值为1:2展开的漫想，缺乏历史文献支持，算是一个自娱自乐、自圆其说的肆意畅想，但我中华文字自有其承载的厚重历史和文化底蕴，说不定随便一个简单的文字里面就有大道理、讲究、历史和文化传承。
