MIMO检测-基于因子图的加权高斯近似算法
本文讲解基于因子图的置信传播算法，来做 MIMO detection, 即根据接收到的数据，假定信道系数矩阵已知的前提下，来估计发送的数据。这个文章需要的背景知识很少，只需要基本的概率知识以及高斯分布就可以了。
（录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1214y1h7v7/）
系统图如下：
则：
信道系数矩阵 H 已知，且已经接收到了数据，那么如果我们要估算发送方的数据，当然最优的做法，是求解下面的概率：
其中 x 和 y 都是列向量，分别包含 Nt 和 Nr 个元素。 Nt 和 Nr 分别表示发送天线数和接收天线数.
在所有 x 的可能取值中，找上面公式 (1) 的概率的最大值。
但是，这种最大化后验概率的方法，计算量随着发送天线数的增加而急剧增大，因此，我们可以退而求其次，我们不要求全局最优，我们把 Nt 个发送数据分别处理，对于 ，我们计算如下的概率：
如果大于 0.5，则认为 ，否则，认为
.
我们把公式 (2) 用条件概率公式做一下推导，目的是推导出 用“收到 y” 概率 来表示这个 的概率。
其中，因为 与信道 H 是相互独立的，因此
，可以认为是常数。
其中 p(y|H) 用全概率公式展开为
因为 与信道 H 是相互独立的，所以，上式继续推导为：
在假定 ，即符号是等概率取值的，则公式 (3) 可以整理为：
至此，我们做一个不太准确的假设，即假设 在 已知 H 和
的条件下，相互独立。但是，在实际上，这里肯定不是相互独立的，因为每个接收天线都能接收到所有发射天线来的信号，那么这些接收到的数据肯定都包括相互重叠的信息，即来自同一个发射天线的信息。所以，下面的公式，只能是约等于：
代入公式 (4) 有：
令：
那么：
代入公式 (5) 有：
至此，我们已经用 的概率，表示出来了
的概率，即用接收方的概率信息，来估计发送方发送的是什么数据的概率。
接下来，我们需要更新了的对发送方的估计，来进一步提高对 的概率的估计，即提高
的准确度。看公式 (6) 中的
，我们把
的公式写出来：
这里，我们把来自不是 的发送信号，都视作干扰，这个干扰以及加性高斯白噪声项一起，构成了一个符合复高斯分布的随机变量
：
符合如下的复高斯分布：
那么根据公式 (9) 和上面的假设，则 是符合
的复高斯分布。
那么：
类似的：
代入公式 (6) 有：
其中：
同理：
代入公式 (10) 有：
现在，我们来推导公式 (11) 中用到的两个参数 和
:
其中
则：
另外，方差的部分：
其中：
则：
最终，公式 (11) 变为：
至此，我们已经有一个迭代的过程了：
1）用 的概率信息
来估算每个发送方数据的概率信息
2） 根据发送方概率信息 ，可以计算出相关的均值和方差
和
, 进而可以又来估计
的概率。
因为我们这中间有一些假设导致的一种近似，所以，我们需要对上面两个步骤做多次迭代，才能收敛到一个稳定值。因为是迭代，所以，在后面的迭代过程中，公式(7) 中，计算左边的值时，需要把我们用来估计的 对应的概率踢出去，下面的公式中
表示要估计的 y 向量中元素的下标（而不是 i ）, 公式 (7) 变为：
则公式(12) 和公式 (13) 一起，构成这个算法的迭代过程。
至此，我们引入因子图来表示这种迭代关系以及迭代过程中传递的概率信息（称之为消息）。
