挤水银问题

水银柱可以说是物理选修三前半本的常客，因其诱人的密度而被用来设计各种令（sang）人（xin）称（bing）绝（kuang）的题目：水银套水银、水银套空气、U型管倾斜……老师们一个个化身费曼，从小小的碰撞中创造出千万种组合来。

但是现在让我们抛开那些奇思妙想，回到最初的试管、水银和空气，而对一个决定题目难度天花板（改变管子、水银和空气不过是多列了几个方程，走繁琐的道路）的——“准静态”——下手。让我们的视野里不再是水银的闪现，而是水银的挤出。

题干：

如上图，20cm长的试管在27℃大气中竖直放置固定，试管下部分用5cm水银封闭10cm理想空气，上部分连通大气，大气压为76cmHg，现将底部空气瞬间加热到T0，要使水银挤出试管，求T0最小值。（假设水银全部出试管口为挤出，水银形状不变，气体绝热）

要使水银挤出，则气体内能转化为水银机械能。我们知道空气绝大部分由双原子分子构成，内能公式为E=2.5nRT=2.5pV，内能和压力势能之间建立了奇妙的关系。有理想气体状态方程pV/T=nR→pS(L10cm+x)/T=nR=81cmHg*10cm*S/300K，两边同除以S再去量纲p(10+x)/T=2.7①，nR=2.7。又根据气体的功能关系，有如下方程：2.5nRT0-∫pSdx=2.5nRT,其中S是试管横截面积，x是水银的位移。两边对x微分：左微分中1.5nRT0为常量，-∫pSdx是对x的积分；右积分中2.5nRT是关于x的状态函数，根据①得其为2.5pS(10+x)，故微分后约去S是这样的：5(10+x)p'+7p=0②。②式微分方程两边同乘积分因子(10+x)^(7/5)再积分得(10+x)^(1.4)*p=C。IVP问题，x=0时，T=T0，p=0.27T0，C=27*10^(-0.6)T0，(10+x)^(1.4)*p=27*10^(-0.6)T0，T=T0*10^(0.4)*(10+x)^(-0.4)。

T和x函数关系建立后，就是要确定末状态是怎么样的。回到②式原来的积分式，它被改造成：x=10cm时，T1=2*(-0.4)T0，∫pdx=6.75T0-6.75T1=810，式子代表下部气体克服水银压和大气压做功后水银恰好挤出且静止，解得T0=495.58K.

对比“准静态”所需的600K高温，我们用动态求出的495.58K来得更小，所需能量也更小。尽可能用小能量做大事情，这就是实干者们所一直思考的。以后当老师再问及这道题的时候，你就可以自豪地说：“在瞬间加热到496开尔文，水银就会出来！”