凝聚态场论常用公式（10）：磁平移算符与磁平移Bloch定理

2023-03-28 20:45 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

由于磁场会破坏晶格的平移对称性，所以晶格的Bloch定理被破坏.（证明略）

我们考虑磁场下的对称规范 $A_x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DBy%2C%5C%20A_y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DBx.$

系统的哈密顿量为 $%5Chat%7BH%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2m%7D(%5Cboldsymbol%7Bp%7D-%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)%5E2%2BV(%5Cboldsymbol%7Br%7D).$

与证明Bloch定理类似，可以计算出：

$%5B(%5Cboldsymbol%7Bp%7D-%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)_x%2C(%5Cboldsymbol%7Bp%7D-%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)_y%5D%3D%5Cfrac%7BeB%5Chbar%7D%7Bc%7Di%5Cneq0%2C$

$%5B(%5Cboldsymbol%7Bp%7D%2B%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)_x%2C(%5Cboldsymbol%7Bp%7D-%5Cfrac%7Be%7D%7Bc%7D%5Cboldsymbol%7BA%7D)_y%5D%3D0.$

由此可以构造出磁平移算符 $%5Chat%7BT%7D(%5Cboldsymbol%7BR%7D)%3De%5E%7B%5Cfrac%7Bi%7D%7B%5Chbar%7D(%5Cboldsymbol%7Bp%7D%2Be%5Cboldsymbol%7BA%7D)%5Ccdot%5Cboldsymbol%7BR%7D%7D%2C%5C%20%5B%5Chat%7BT%7D(%5Cboldsymbol%7BR%7D)%2C%5Chat%7BH%7D%5D%3D0.$

并且可以验证磁平移算符的不可对易性： $%5Chat%7BT%7D_a%3D%5Chat%7BT%7D(%5Cboldsymbol%7BR%7D%3D(a%2C0))%2C%5C%20%5Chat%7BT%7D_b%3D%5Chat%7BT%7D(%5Cboldsymbol%7BR%7D%3D(0%2Cb)).$

$%5Chat%7BT%7D_a%5Chat%7BT%7D_b%3De%5E%7B-i2%5Cpi%5Cfrac%7B%5CPhi%7D%7B%5CPhi_0%7D%7D%5Chat%7BT%7D_b%5Chat%7BT%7D_a%2C%5C%20%5CPhi%3DBab%2C%5C%20%5Cphi_0%3D%5Cfrac%7Bhc%7D%7BeB%7D.$

特别地，对于有理数磁通 $%5Cfrac%7B%5CPhi%7D%7B%5CPhi_0%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%3A%5C%20%5B(%5Chat%7BT%7D_a)%5Eq%2C%5Chat%7BT%7D_b%5D%3D0%2C$ 即原本(a,b)的原胞将延拓为(qa,b)的大原胞. 这也对应着 Hofstadter 能谱有理数磁通，一条母带分裂为q条子带. 并由此得到磁布里渊区：