【数学基础Ep14】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 两向量垂直充要条件：内积为0。

2. 矩阵乘法运算律——

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

3. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0.——|A|为矩阵A对应的行列式。

4. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

5. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
   

参考资料：

1. 《数学分析教程》（常庚哲 史济怀 编）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析教程（常庚哲 史济怀 编）》）——

用p（n）表示n的质因数的个数，例如p（1）=0，p（2）=1，p（3）=1，p（4）=1，p（5）=1，p（6）=2，p（7）=1，等等。求证：lim p（n）/n=0.

证：

1. n=a1a2……am，其中ai都为n的质因数，同时a1<=a2<=……<=am；

2. 易得p（n）<am；

3. 0<p（n）/n=p（n）/（a1a2……am）=[1/（a1a2……am -1）][p（n）/am]<1/（a1a2……am -1）；

4. 质因数的个数是无穷的，所以am趋近于无穷大，则lim p（n）/n=0.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知|a|=3，|b|=5，a和b不共线，试确定常数k，设a+kb和a-kb垂直。

解：

1. （a+kb）（a-kb）

   =|a|^2-k（ab）+k（ba）-k^2*|b|^2

   =|a|^2-k^2*|b|^2

   =9-25k^2；

2. 为使a+kb和a-kb垂直，要且只要（a+kb）（a-kb）=0，故得方程9-25k^2=0，解得k=3/5或者-3/5。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——

设A为方阵。证明：若A^k=0，则E-A是可逆的，而且（E-A）^（-1）=E+A+A^2+……+A^（k-1）。

证：

1. 做以下乘法：

   （E-A）[E+A+A^2+……+A^（k-1）]

   =[E+A+A^2+……+A^（k-1）]-[A+A^2+……+A^（k-1）+A^k]

   =E-A^k

   =E-0=E；

2. 从而E-A是可逆的，而且（E-A）^（-1）=E+A+A^2+……+A^（k-1）。

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