“有理数集Q不能作为两个非平凡群直积”的代数形式证明

默认读者已经知道群、群直积、群同态、阿贝尔群、平凡群、环的定义。

默认以下命题已证明（俗称易得）：命题1、推论2、命题3（1）。

• 命题1  设为群同态，则。

• 推论2  对任意两个群，一定存在群同态,其中。

• 命题3  对任意两个群、它们的直积构成的群，以及任意阿贝尔群，设群同态。

              (1)存在群同态，其中;

              (2)当为环时，则不可能都是非平凡群。

显然，若证明命题3（2），再由为环（有理数环）可知，原命题得证。

现证明命题3（2）。

证明：

因为环，即必定为阿贝尔群，由命题3（1）可知，则有。

设，则，有：

则它们的乘积：

又因为乘积，即同样，使得：。

故存在群同态，等价于：

若群都是非平凡群，则必然。

不妨设，则：，

矛盾。

故不可能都是非平凡群。

证毕。

近来工作之余，也读了读Paolo Aluffi的《Algebra:Chapter 0》，标题这个命题即为该书第2章第3节的练习题3.5（Prove that Q is not the direct product of two nontrivial groups.）中要求证明的。命题1、推论2、命题3（1）也原书中第2章正文中分别有提到的命题或内容相对应，即它们都是解题时可以用到的工具。至于群、群直积、群同态、阿贝尔群、平凡群、环的定义，除了环的定义还没有在第2章第3节还没有涉及外，其他都有涉及。

其中：命题1对应原书第2章第3节的Proposition 3.2；推论2固然是命题1的推论，同时也是在原书自第1章开始的范畴论基础上必然存在的推论；命题3（1）可以认为第2章第3节的练习题3.3的解答，同时在原书第2章第4节4.4. Homomorphisms of abelian groups中也有证明的记录，在表述上算是针对这里这个命题的特化版，其证明过程及所使用条件是完全一致的。

最开始，我没读懂这个题目的意思，于是试着找了下相关背景材料，从而也有意无意地接触到网上流传的几个证明。恕我直言，连“剧透”都不算，稍微好一点的算是隔靴搔痒、南辕北辙，差的甚至离题千里、对题目理解都有问题。那些“证明”里面不约而同都存在的各种配凑小技巧，也实在是有点令人难以恭维。最重要的是，还擅自给题目加上“子群”之类的限定，令人哭笑不得。

因此，写这个证明的初衷，就是想让大家看到，这个题目的证明就是这么简单。这个命题证明的关键在于，环引入的乘法，特别是乘法的分配律，严重扭曲了原来群同态的结构。这才是这个命题证明的核心所在，也是为什么我会在标题说这是“代数形式证明”的原因。

记于2022年10月8日晚

寒露