极限的保号性，极限的局部保号性，保号性定理

牛顿371、极限的保号性，极限的局部保号性，保号性定理

 

大神能给我解释一下函数的保号性是什么意思吗？

或者你是怎么理解保号性的？

还有保号性在函数里的应用？——网友提问

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

…保号性：见《牛顿370》…

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

摆渡人宝刀君（2019-01-09，1009人赞同了该回答）：…

极限的保号性，常常被叫做极限的局部保号性，但由于极限本来就是在局部定义的，因此省略掉“局部”二字，叫极限的保号性也没错。

…极、限、极限：见《牛顿202~321》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

保号性的定义是这样的：

 

极限的局部保号性

定理：函数极限的保号性

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

 

如果lim（x→x0）f（x）=A，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f（x）＞0 [或f（x）＜0]

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。

v.限制；限定；限量；减量…]
…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…

…0＜|x-x0|＜δ：x和x0的距离小于δ…

 

翻译：极限值＞0时，函数值＞0；极限值＜0时，函数值＜0。

简单来讲，就是在x趋于x0（x→x0）时，极限值存在且大于0（小于0），那么就存在一个δ邻域，这个邻域内的函数值也大于0（小于0）。

 

这就被称为极限的保号性。

这个定理，怎么证明呢？

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

那就需要用到极限的定义啦！

证明：函数极限的局部保号性

 

设A＞0，因为lim（x→x0）f（x）=A，

则∀（任意）ε＞0，∃（存在）δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|f（x）-A|＜ε，

即A-ε＜f（x）＜A+ε

或A+ε＞f（x）＞A-ε

…∀、∃：数学符号。见《牛顿309》…

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

…0＜|x-x0|＜δ：x和x0的距离小于δ…

…|f（x）-A|＜ε：f（x）和A的距离小于ε…

可取ε=A/2＞0，则f（x）＞A-A/2=A/2＞0

同理可证A＜0

 

翻译：极限值＞0时，函数值＞0；极限值＜0时，函数值＜0。

我们按照定义写出极限的定义表达式后，然后对这个不等式的ε进行取值。

理论上说，ε可以取任何值，只要它大于0就行。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

大于0的ε，这个取法有很多了，比如你可以取2A，3A，4A等等，也可以取0.5A，0.3A，0.1A。

到底取哪一种呢？

 

这取决于你的目的是什么。

…目、的、目的：见《欧几里得195》…

 

你现在的目的是：为了判断“极限值大于0时的函数值是大于0、还是小于0？”，也就是判断“A-ε”的正负。

 

ε取A的整数倍时，A-ε为负数，ε取A的小数倍时，A-ε为正数，f（x）在这两种范围下，按照不等式“同大取大”的原则，f（x）>0。

…范、围、范围：见《欧几里得39》…

 

“大大小小无解：X大于3，X小于-3，无解，因为数轴上没有公共部分。
都是按照数轴来判断的，数轴上的公共部分就是不等式组的解集。

请看下集《牛顿372、不等式“同大取大”原则》”

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