解方程：32(x²+1)=(x²−1)³+(x²+3)³

题一、
解方程：32(x²+1)=(x²−1)³+(x²+3)³

分析题目
分析题目，表面上看是六次方程，其实将X方换元后就是典型的一元三次方程了，那据此分析，我们毫不犹豫就双换元，即引入参数p和q，设定，
p=x²−1 ，q=x²+3>0

则显然由平方项次的非负性，得到q大于０，然后我们将两个参数直接相加即得到，
p+q=2x²+2>0，

然后再将两个参数相减，即得到，
q−p=4......①

然后，将上述两个方程，直接代入到原方程中进行转换得到，
32(p+q/2)=p³+q³

移项整理后得到，
p³+q³−16(p+q)=0

前两项立方和因式分解也会产生p加q因子，即得到，
(p+q)(p²−pq+q²)−16(p+q)=0

然后提取这个公因子后得到，
(p+q)(p²−pq+q²−16)=0

两个式子乘积为0，那只能是分别等于0，但结合刚才确定的p＋q大于０，那只能第二个乘积项＝０，即有，
p²−pq+q²−16=0

对二次项凑Q减去P的完全平方式，即得到，
(q−p)²+pq−16=0

代入①式中q−p=4的值，即得到

pq=0，结合之前确定的q大于0，则有，
p=0 ，
带回参数设定方程，即得到x²−1=0，

解得x=±1

参考答案