【数值策划】常见笔试题
本文首发于2022秋招期间，至今已有近半年的时间。现在回看发现当初更新的既不全面也不够有针对性，近期将会多更一些内容。
总目录指路
这里把自己遇到的【数值策划】相关笔试题进行总结和归纳。
题目答案都是网络搜集或本人做的，如有错误，欢迎指出！
长期更新直至摆烂，目前包含的题目类别有：装备强化、模拟对战、抽卡、各种抛的概率、简单数学逻辑题、行测中的数学题、数学难题（涵盖博弈论、数列等问题）。
目前的更新计划：
补充一些有关装备强化的具体数值设计方法
补充几道有代表性的逻辑题
装备强化问题
1. 强化一件橙色稀有装备,该装备初始等级为0级,每强化成功一次+1等级,失败一次-1等级(最低为0等级),+1+2等级强化概率为100%,+3为70%，+4为65%，+5为50%;计算强化到+5等级需要的强化次数期望
【来源】https://www.nowcoder.com/questionTerminal/ac6db13ea71742a7a297891f71080054
【解答】
【说明】强烈推荐大家用这种解法。注意，一般情况下回退等级都是1，也就是失败了降1级。原因也很简单：游戏都是这么做的，如果失败掉2级玩家要杀人的！此外，公式中的“总期望”其实指的是表格中的“强化成功的次数期望”。
9.21 更正
马尔科夫链不适用于部分装备强化问题，因为装备强化是状态之间的循环，马尔科夫链可能不收敛。因此有限次数能用马尔科夫，无限次数多半不能。具体什么题目能什么不能，后面再补一下。感谢评论区老铁的提醒！原来写的是在胡说了QAQ
模拟对战问题
1. 有三个角色ABC，每个角色有攻防血三种属性，利用减法公式计算伤害(伤害=攻击-防御)。给定其中若干角色的参数，设计剩余的参数，使得三者构成循环克制关系。
【来源】某公司
【解答】
战斗中，角色1克制角色2就是角色1后于角色2死亡，
即 h1 / (atk2-def1) > hp2 / (atk1-def2)(记为生存时间不等式)
最终解三个不等式即可。
【说明】
减法公式中的“战斗力”一般不存在传递关系，即A克制B，B克制C，不能保证A克制C，原因是：生存时间不等式无法变形成为一边只含有自己参数的形式，但乘法公式可以。这么说很抽象，请见下一题。
2. 乘法公式好在何处？
【来源】题目整合
【解答】
（每个人都会有自己的理解，也可以结合游戏进行分析。这里只说最突出的、普适的优点）
乘法公式，即：伤害 = 攻击*（1-免伤率），免伤率 = 防御 / (防御+常数C)
（1）乘法公式下，不会出现减法公式中不破防的情况，即伤害不会为0
（2）乘法公式边际递减效应明显，收益随防御力增加而减少（边际递减可以简单理解为导函数是减函数，即二阶导数<0，也即函数为凹函数），鼓励玩家适度追求防装
（3）乘法公式下，战斗力仍然取决于自身属性。请见下图
有人问：在数值公式中，战斗力的含义是什么呢？最典型的战斗力的定义满足两个特征
① 战斗力高的，能打赢（活得更久）
② 战斗前后，战斗力的差不变。比如打之前前我战斗力比你高1w，打完了你死了，我就还 剩1w的战斗力。
仿照之前写的生存时间不等式，我们会发现：如果A能打赢B，即
不难发现所谓的生存时间的比较，其实就是战斗力的比较。
（4）乘法公式下，每一点防御力的收益恒定。这点很隐蔽，也有点违背感性认识。但是我们拿战斗力的公式来看，不难发现：在atk,hp不变的情况下，战斗力和def其实是成正比的（也就是一个线性函数）
抽卡问题
1. 优惠券收集问题（Coupon Collector's Problem）
有M种卡牌，每次从中抽一张，有放回，问抽N次能集齐一套的概率？
【来源】经典理论，大量公司基于此题进行变化
【解答】
此题其实是有难度的，网上错解相当多，比如直接算无穷级数收敛的。我这里先贴两个比较靠谱的参考答案，待彻底搞懂后，拿具体题目来分享解法。推荐先看第一个链接。
https://www.zhihu.com/question/20426032/answer/1591037133
https://zhuanlan.zhihu.com/p/150899532
各种抛的概率
1. 抛一枚硬币，假定它正面朝上的概率为p，若连续k次正面向上即停止，求平均抛掷的次数？
【来源】真题一般化
【解答】
先给出结论
比如说，题目给出p=1/2,要求连续3次正面，那么代入得平均次数=6
详细的证明见如下链接。和马尔科夫一样，数学期望问题多到足以单独开一篇讲解。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/68358814
2. 不停地抛一枚质地均匀的骰子，它的六个面分别写有0-5，当累计的数字和大于12时即停止，问最可能出现的数字和是多少？
3. A和B各有2个骰子。A是老赖，他有一个骰子6个面全是6，其余三个骰子是正常的（6个面分别写有1-6）。他们每次抛自己的两个骰子，点数和大的赢，一样算平局。问若B输一次要支付A m 元，那么A输一次应该支付B多少元，才能让这个游戏公平？
【来源】真题
【解答】
（笔试时看到题目笑出声来... ...）
因为A是个老赖，所以他的点数和的情况很好算，只能是 7-12 ，而且是等概率的
B的点数和是经典的六面骰点数和，列个表出来如下所示
古典概型，一共只有 6*36=216种情况，可以分类枚举（注意对角线是分界线），如下
平局不用考虑，160/35=32/7，那么A输一次应该支付32/7 * m 元
数学逻辑题
最常见的就是各种推理：谁说谎了、谁是什么职业... ... 一般都用假设法解决。就是先把确定的条件罗列完，剩余的不确定的情况，先假设后验证，有矛盾则不成立。讨巧的是，一般这列题目是唯一解，所以如果发现一个合理的情况，也不用考虑其他情况了。
行测中的数学题
行测有很多数学题其实就像脑筋急转弯，私以为很无聊... ...但是人家既然考，咱也不得不准备。
1. 有若干根粗细不均匀的蜡烛，完全烧完一根需要1h，问
（1）怎么用这些蜡烛计时30min
（2）怎么用这些蜡烛计时15min
【来源】某公司真题
【解答】
（这题还是公务员考试的名题，没想到还拿来考数值策划了...考数值策划...）
（1）同时点燃一根蜡烛的两端
（2）同时点燃两根蜡烛，一根只点燃一端，另一根点燃两端，那么当第二根蜡烛烧尽的时候，把第一根蜡烛的另一端也点燃了，它最后燃烧的时间就是15min。
数学难题
这个板块是讲不完的，只能选一些最典型的讲，一般都需要对特定知识有了解才会做。
博弈论相关
博弈论就够我单独开一篇文章了，最常考的是混合策略纳什均衡。可以简单理解为：我不会只用一个“招法”，我会换着来，也就是各种“招法”按一定的概率用。
1. A和B玩“石头剪刀布”，为了避免平局的情况，他们约定：如果两人都出石头或都出剪刀，则A赢；都出布，则B赢。两人都足够聪明，问各自的胜率是多少？
【来源】某公司真题，最早好像是雷火出的
【解答】
容易看出这个规则对于B是不利的，因为双方猜拳共有9种情况，5种A赢4种B赢。假如B有某种策略能让他获胜的概率达到1/2，那么这个策略对于B而言就是最优的（至少是之一）。
先假定若干参数，表示玩家双方出对应拳法的概率。
由于没有平局的情况，我们直接算玩家B的胜率
我们惊喜的发现：当q=0,p=1/2时，不仅B的胜率达到了1/2，而且此时无论A采用什么策略，B的胜率始终都是1/2！
严格意义上说，我们还要证明B没有更优的策略了，但作为一道笔试题，做到这个地步足矣。
说明：这题网上有答案给的是(4/9,5/9)，但我和某位大佬讨论一致认为应该是(1/2,1/2)
高等数学相关
1. 一辆摩托车携带的油量可以走50km，摩托车之间可以互相加油且无损耗，问至少要几辆摩托车，才能走过100km的路程？
【来源】某公司真题，非原创
【解答】
说两种方法：
第一种是特殊化解法。
显然1辆、2辆摩托车是不够的。1辆只能走50km，两辆只能走75km。
如果有3辆摩托车，我们容易想到一种方法是：各自消耗1/3的油，也就是走了16.7km，然后把其中1辆剩下的油分给另外2辆车，这样那2辆车满油了。然后可以再走75km，一共走了91.7km。
如果有4辆摩托车，我们不难想到类似的方法：各自消耗1/2的油，也就是走了25km，然后把其中2辆剩下的油分给另外2辆车，这样那2辆车满油了。然后可以再走75km，一共走了100km，正好够。
注意，这样的解法是有风险的：3辆的时候我们设想的方法“差一点”就能走过100km了，会不会有更好的方法呢？我们并不确定，只不过作为一道题目，我们可以适度地投机、猜测。
第二种方法是一般化方法。详见某乎的链接，推导出了一般化的公式
https://zhuanlan.zhihu.com/p/426391878
其结论为：若有n辆车，每辆车油量可行驶M公里，那么总最大里程为
M*(1+1/2+1/3+...+1/n)
