【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep34】从数列开始说起……
今天正式进入“极限论”的内容，这部分内容是一般《高等数学》或是《数学分析》中第一个会浓墨重彩花大功夫讲述的内容，这部分内容往往对应的习题计算技巧需要积累的就开始变多了。
实际上老碧觉得跟实数论那些绕来绕去的内容相比，“极限论”部分的理论感很低——虽然这部分内容学好了，之后微积分内容的理论部分的证明都会简单许多许多，所以我们这里除了介绍书上的内容之外，会补充一些老碧认为对之后有用的习题。
另外，其他书上实数论的阐述，老碧认为还是有一些内容需要进行补充的——
一方面，菲赫金哥尔茨这本书上“实数论”有一小部分的叙述，依然有更加精确缜密的叙述方法，比如张筑生老师在《数学分析新讲》里面对实数理论的叙述，不过那个理解起来其实比这本书还是要难一些；
另一方面，优质的数学分析、高等数学的课程网上不难找到。
老碧写这个系列的初衷——其实是为了重新检视自己认为复杂，所以之前没有耐心好好理解的内容；以及，一些因为用处不大，一般会一笔带过，课程里不会阐述太多的内容，进行一些详细地说明——所以，你可以把这个笔记看作一个辅助学习的类似于科普性的内容。
或者更简单的，是老碧学习笔记的一个汇总，老碧以后查阅起来会更加方便。
今天简单介绍一些数列极限的两个常用定义，虽然对刚上大学的同学会有一定的难度和适应期，但是我们之前一个多月知识储备，这个概念理解起来就很简单了！
23整序变量（数列）的极限
上面这就是广大教材上，大家早已熟悉的数列极限的第一定义，这个定义来自于将对于数列极限的自然语言向逻辑语言的翻译，没错，翻译！——许多时候，数学证明、做题、理解等等，都是在把一些已知的信息进行翻译或者阐释的过程。
比方说，题目中给了一个条件说0是一个数列的极限，那么，你就会反应过来，去回忆所有对应的性质，看看哪一条能用上就用哪一条，所以，又一次证明，记忆在理科学习中的重要作用。
自然语言描述数列极限可以简述为，“数列的变化趋势中，最终会无限接近的一个数字。”
无限接近的含义我们之前也聊过了，就是我们给出一个任意小的正数，数列中都存在一个数字，使得它与某个确定的数字的距离小于这个正数。
但是，对于数列这种具有确定方向——序的集合，那么，几何直观来说——我们以自然数为横轴，以数列每一项的数值为纵轴，画出一系列散点，会发现这些点最终会稳定在一条平行于横轴的线周围，渐渐有重合的趋势。
所以，如果a是数列｛an｝的极限，那么对于我们任意给出的小整数e，存在一个自然数N，在n>N，即N之后，所有的an与a的距离都比e小，即|an-a|<e。
书上也对这一点做出了阐释——
接着书上对数列极限作出了两点说明——
我们聊一下第二条说明——我们注意到，数列极限定义中的N是一个存在性的东西，如果N满足条件，那么很显然，任何比N大的自然数也满足条件，数列证明题，往往也就是找到N的题，也就是——解不等式的题，最终得到一个N>……的形式，我们做题的时候，随便找到一个N满足条件即可，所以不同的解题思路，解出来的N可能不同。
接着提了一种特殊的有极限的数列——常数列——
最后介绍了数列的几何意义——
由此得到了凝聚中心，也就是聚点的概念。
聚点定理其实也是“确界原理”的一个等价命题，不过数学分析前期存在感不太高罢了，到了点集拓扑学，就会发挥重大的作用。
然后书上引入了“无穷小量”的定义，然后给出了数列极限的第二个常用定义——
24无穷小量
无穷小量即是以0作为极限的数列，所以它依然是一个数列，也就是一个特殊且十分有用的变量罢了。
为了防止误解，书上给出了说明——
最后就是数列极限的第二，如果算上聚点的定义，也就是第三个定义——
如果一个数列能够转化为常数加一个无穷小的形式，那么这个数列有极限——偷偷告诉你，这个定义对后面数项级数的收敛证明很有用哦！
补充——我们来补充一下，数列极限的聚点的定义——
必需概念——邻域，在一维的线上，邻域可以看作一个有中心的线段，二维平面上，则是有中心的一小块面，三维到n维则是，有中心的一小块空间，但是为了方便，一般二维邻域取圆或正方形，高维取球或立方体；
聚点——我们把数列里每一项对应的所有点都画在数轴上，然后我们在某一点的任意小邻域内都发现存在数列某一项对应的点——按照邻域和绝对值的几何意义，我们已经得到了这个定义和数列第一定义的等价性。
我们明天不见不散，可能会有全新的安排哦！——当然也可能没有，一切随缘吧~
