有意思的概率与统计（三）

2023-07-22 16:36 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

感觉上，概统的一篇专栏内容好像差不多是微分方程的几倍哦……

怪事。

明明到现在为止还只是刚开始，为什么要写的东西这么多啊！

算了，继续吧。

希望大家看得开心~

Chapter One 随机事件与概率

1.3 概率的性质

我们在上一篇专栏里已经了解过了概率的公理化定义。知晓了定义之后，我们就有必要依据定义来对概率的性质进行研究。当了解了概率的一些基本性质之后，我们就能够对很多求解概率的问题有好的解决办法。

在公理化定义当中，有明确指出：

$P(%5CvarOmega)%3D1$

这样，我们就会想到，是不是会有：

$P(%5Cvarnothing)%3D0$

由于：

$%5CvarOmega%3D%5CvarOmega%20%5Ccup%20%5Cvarnothing%5Ccup%5Cvarnothing%5Ccup%20%5Ccdots$

并且空集所代表的事件和任何事件都互不相容。因此，由可列可加性公理，我们就能得到：

$P(%5CvarOmega)%3DP(%5CvarOmega%20%5Ccup%20%5Cvarnothing%5Ccup%5Cvarnothing%5Ccup%20%5Ccdots)%3DP(%5CvarOmega)%2BP(%5Cvarnothing)%2BP(%5Cvarnothing)%2B%5Ccdots$

于是得到：

$P(%5Cvarnothing)%2BP(%5Cvarnothing)%2B%5Ccdots%3D0$

于是就有：

$P(%5Cvarnothing)%3D0$

显然，我们的想法是正确的。

利用这一结论，我们很容易就证明：

有限可加性： $P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)$

（各事件之间互不相容；证明只需要在可列可加性当中，令后无穷多个事件为不可能事件即可。）

若令其中n=2， $A_1%5Ccup%20A_2%3D%5CvarOmega$ ，则不难得到：

$P(A_2)%3D1-P(A_1)$

此时，两个事件互为对立事件。因此，我们得到：

对立事件的概率和为1。

有了有限可加性，我们就可以对有限个互不相容事件的概率求和，以得到这些事件的并事件的概率。比如说：

$P(A)%3DP(AB%5Ccup%20A%5Coverline%20B)%3DP(AB)%2BP(A%5Coverline%20B)$

（这是专栏（一）里面的思考，不知道小伙伴们证明过没有~）

这样，我们就可以将事件A的概率按事件B分割为两部分。求得这两部分之后，就相当于是求得了事件A的概率。

如果事件B是事件A的子事件，那么就有AB=B，此时，等式变为：

$P(A)%3DP(AB%5Ccup%20A%5Coverline%20B)%3DP(B)%2BP(A%5Coverline%20B)$

由非负性公理，我们能够得到：

P(A)≥P(B)，当事件A包含了事件B时。

这称之为概率的单调性。

同时，我们也得到了一个概率公式：

$P(A-B)%3DP(A%5Coverline%20B)%3DP(A)-P(B)$

（当事件A包含了事件B时）

可以说，可列可加性给出了一定条件下（事件之间互不相容）的事件之“和”的概率的计算方式。但是，对于更一般的事件组，事件之间通常并不互不相容，而是有所交叉。对于这样的事件组，并事件的概率又当如何求解呢？

我们先来看两个事件的情形。考虑到如下的事件间的运算结果：

$A%5Ccup%20B%3DA%5Ccup%20%5Coverline%20AB$

（这也是专栏（一）中的思考，不知道小伙伴们……额，算了）

于是，由可列可加性，我们得到：

$P(A%5Ccup%20B)%3DP(A%5Ccup%20%5Coverline%20A%20B)%3DP(A)%2BP(%5Coverline%20A%20B)%3DP(A)%2BP(B)-P(AB)$

（这里利用了上一段已经提到过的概率公式~）

当事件数目增加到3件时，结论又当如何呢？

直接计算，不难得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AP(A%5Ccup%20B%5Ccup%20C)%26%3DP%5B(A%5Ccup%20B)%5Ccup%20C%5D%5C%5C%0A%26%3DP(A%5Ccup%20B)%2BP(C)-P%5B(A%5Ccup%20B)C%5D%5C%5C%0A%26%3DP(A)%2BP(B)-P(AB)%2BP(C)-P%5B(AC)%5Ccup(BC)%5D%5C%5C%0A%26%3DP(A)%2BP(B)%2BP(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)%2BP(ABC)%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

（这里利用了事件运算的分配律。）

这样，我们就很容易归纳出结论：

对任意n个事件 $A_1%2CA_2%2C%5Ccdots%20A_n$ ，有：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)-%5Csum_%7B1%5Cle%20i%EF%BC%9Cj%5Cle%20n%7D%20P(A_iA_j)%2B%5Csum_%7B1%5Cle%20i%EF%BC%9Cj%EF%BC%9Ck%5Cle%20n%7D%20P(A_iA_jA_k)-%5Ccdots%20%2B(-1)%5E%7Bn-1%7DP(A_1A_2%5Ccdots%20A_n)$

（总结下来就一句话：奇加偶减。）

同时，我们也能够很快地想到一个合适的证明思路——数学归纳法。毕竟，在事件数为3时的结论，我们已经用了递推的方式来推导了，而这正是多数情况下使用数学归纳法证明的关键所在。（证明留给大家当作思考~）

如果我们按照公式中的顺序，依次将各求和项记为 $S_m$ 。（其中，m是相交的事件数。）那么我们就可以将公式写作：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5En%20(-1)%5E%7Bm-1%7DS_m$

其中，每个 $S_m$ 中所含有的概率项数目为 $%5Ctbinom%7Bn%7D%7Bm%7D$ 。

比如说：

$S_2%3D%5Csum_%7B1%5Cle%20i%EF%BC%9Cj%5Cle%20n%7D%20P(A_iA_j)$ ，其中不同的 $P(A_iA_j)$ 共有 $%5Ctbinom%7Bn%7D%7B2%7D$ 个。（相当于是在n个事件中选择两个。）

这样我们就将公式表达成了一个便于记忆的形式了。

这个公式，就称为概率的加法公式。

由这个结论，我们可以得到一个推论：

（半可加性）

对任意n个事件 $A_1%2CA_2%2C%5Ccdots%20A_n$ ，有：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20A_i%5Cbigg)%5Cle%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)$

最后，我们来研究一下，概率的连续性。

或许大家会比较好奇，概率如何定义连续性呢？

我们回忆一下数学分析的知识。所谓连续性，是与极限过程高度相关的。一元函数的连续性是指，在变量不断接近定义域内某一点时，函数值不断接近函数在该点的取值。

（这是简易的自然语言叙述，只是为了能让大家理解并回忆起相关的内容，具体的详细定义还是需要大家仔细掌握~）

由于在概率的定义当中，我们实际上明确指出过，概率是关于事件的函数。所以，从这一点来看，我们似乎可以接受“概率的连续性”这一说法，只要我们找好可以用于评价所谓连续性的变量即可。

概率的变量是事件，这是已经写在定义当中的内容。（可能没有很明确地直接写出，但事实确实如此。）因此，不难想到，概率的连续性，对应的应该是事件的极限过程。

我们定义：

（1）对 $%5Cmathscr%20F$ 中任一单调不减的事件序列：

$F_1%5Csubset%20F_2%5Csubset%20%5Ccdots%20%5Csubset%20F_n%5Csubset%20%5Ccdots$

称可列并 $%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_n$ 为 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 的极限事件，记为：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20F_n%3D%20%5Cbigcup_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_n$

（2）对 $%5Cmathscr%20F$ 中任一单调不增的事件序列：

$E_1%5Csupset%20E_2%5Csupset%20%5Ccdots%20%5Csupset%20E_n%5Csupset%20%5Ccdots$

称可列交 $%5Cbigcap_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20E_n$ 为 $%5C%7BE_n%5C%7D$ 的极限事件，记为：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20E_n%3D%20%5Cbigcap_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20E_n$

有了对于事件的极限过程的定义，我们就可以基于这样的定义，给出概率的连续性的定义：

对 $%5Cmathscr%20F$ 上的一个概率P，

（1）若其对 $%5Cmathscr%20F$ 中任一单调不减的事件序列 $%5C%7BF_n%5C%7D$ 均成立：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20P(F_n)%3D%20P%5Cbigg(%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20F_n%5Cbigg)$

则称概率P是下连续的；

（2）若其对 $%5Cmathscr%20F$ 中任一单调不增的事件序列 $%5C%7BE_n%5C%7D$ 均成立：

$%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20P(E_n)%3D%20P%5Cbigg(%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20E_n%5Cbigg)$

则称概率P是上连续的。

有了这几个定义，我们接着就会想到，到底概率是否是连续的呢？或者说，是否任意概率P都是连续的呢？

答案是显然的，我们以上连续性为例，下连续性同理。注意到，单调不减的事件序列的特点是后一事件一定包含了前一事件，因此，利用前面我们推导出的概率公式，有：

$P(F_%7Bn%2B1%7D)%3DP(F_n)%2BP(F_%7Bn%2B1%7D-F_n)%5CLeftrightarrow%20P(F_%7Bn%2B1%7D-F_n)%3DP(F_%7Bn%2B1%7D)-P(F_n)$

不难证明，事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意两个事件之间都是互不相容的。因此，利用可列可加性，我们得到：

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20P(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%3DP%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5BP(F_%7Bi%2B1%7D)-P(F_i)%5D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%5B%20P(F_%7Bn%2B1%7D)-P(F_1)%5D$

同时，我们也能证明，事件 $F_1$ 与事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意事件之间都是互不相容的。从而我们就能够得到：

$P%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D1%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%2BP(F_1)%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20%20P(F_%7Bn%2B1%7D)%3DP%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%5Cquad(F_0%3D%5Cvarnothing)$

由于：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AF_1%26%3DF_1%5C%5C%0AF_2%26%3D(F_2-F_1)%5Ccup%20F_1%5C%5C%0AF_3%26%3D(F_3-F_2)%5Ccup%20F_2%5C%5C%0A%5Ccdots%5C%5C%0AF_%7Bn%2B1%7D%26%3D(F_%7Bn%2B1%7D-F_n)%5Ccup%20F_n%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

于是，我们就得到：

$%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_%7Bi%2B1%7D%3D%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)$

进而得到：

$P%5Cbigg(%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20F_%7Bi%2B1%7D%5Cbigg)%3DP%5Cbigg%5B%5Cbigcup_%7Bi%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(F_%7Bi%2B1%7D-F_i)%5Cbigg%5D%3D%5Clim_%7Bn%5Cto%E2%88%9E%7D%20P(F_%7Bn%2B1%7D)$

这说明，概率一定是下连续的。对于上连续性，只要利用对立事件的概率性质以及De Morgen定理即可完成。

概率一定是下连续且上连续的，这称之为概率的连续性。

在日后我们所面临的问题当中，涉及到概率的连续性的情况较少。但是，仔细研究概率的连续性却能够让我们进一步认识概率这一神奇的数字，从而深化我们对问题的的看法和理解。

思考：

证明概率的加法公式；
证明概率的半可加性；
证明：

（1）事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意两个事件之间都是互不相容的；

（2）事件 $F_1$ 与事件序列 $%5C%7BF_%7Bn%2B1%7D-F_n%5C%7D$ 中的任意事件之间都是互不相容的；
试回答下列问题：

（1）由概率的可列可加性可以推得有限可加性，反过来是否可以呢？如果可以，试证明；如果不可以，请举出一个反例；

（2）尝试证明概率的上连续性；

（3）如果将概率的公理化定义中的可列可加性换成有限可加性，那么是否需要补充其他条件才能原定义等价？需要补充什么？（提示：补充下连续性。）
（配对问题）

元旦时节，好朋友们会互相送贺卡来表示祝福和交流友谊。现在，一群好朋友（一共n个人）坐在一起，他们准备玩一个游戏。他们每个人都拿出一张自己写好的贺卡，并将这些贺卡放到面前的桌子上打乱。然后，每个人随机抽一张贺卡（假如说从外表上看不出贺卡是谁写的），现在问：

（1）n=3时，每个人都没有抽到自己的贺卡的可能情况有几种；

（2）n=5时，每个人都没有抽到自己的贺卡的可能情况有几种；

（3）对于任意的n，每个人都没有抽到自己的贺卡的可能情况有几种；

（4）当人数足够多时（n→∞），求事件A=“至少有一个人抽中自己的贺卡”的概率；
设事件A和事件B互不相容，求以下事件的概率：

（1）A和B至少有一个发生；

（2）A和B都发生；

（3）A发生但B不发生；
求以下事件的概率：

（1）从数字1到9中可重复地任取n次，n次所取数字的乘积能被10整除；

（2）掷2n+1次硬币，正面数多于反面数；

（3）一间宿舍有5位同学，他们之中至少有2个人的生日是在同一个月；
证明：

（1）若P(A)=1，则对任意事件B，有P(AB)=P(B)；

（2）已知事件A，B满足：

$P(AB)%3DP(%5Coverline%20A%20%5Ccap%20%5Coverline%20B)$

记P(A)=p，求P(B)；

（3）若P(A)=p，P(B)=1-p，则：

$P(AB)%3DP(%5Coverline%20A%20%5Ccap%20%5Coverline%20B)$ ；

（4）对任意的事件A，B，C，有：

①P(AB)+P(AC)-P(BC)≤P(A)；

②P(AB)+P(AC)+P(BC)≥P(A)+P(B)+P(C)-1；
设A，B，C是三个事件，且P(A)=a，P(B)=2a，P(A)=3a，P(AB)=P(AC)=P(BC)=b。证明：a，b≤1/4；
证明：

（1）P(AB)≥P(A)+P(B)-1；

（2）

$P(A_1A_2%5Ccdots%20A_n)%5Cge%20%5Cbigg(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20P(A_i)%5Cbigg)-(n-1)$

（3）

$%7CP(AB)-P(A)P(B)%7C%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20$